Страница 50 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

9.3. На рисунках 9.4 отмечены равные отрезки и равные углы. Укажите на них равные треугольники.

а)

Равные треугольники: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

б)

Равные треугольники: $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$.

в)

Равные треугольники: $\triangle ABD$ и $\triangle EBC$.

г)

Равные треугольники: $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$.

д)

Равные треугольники: $\triangle ACD$ и $\triangle BCE$.

е)

Равные треугольники: $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$.

Рис. 9.4

а)

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $ADC$.

1. Сторона $AC$ — общая.

2. $\angle BAC = \angle DAC$ (по условию, отмечены одной дугой).

3. $\angle BCA = \angle DCA$ (по условию, отмечены двумя дугами).

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle ADC$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Ответ: $\triangle ABC = \triangle ADC$.

б)

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $CDB$.

1. Сторона $BD$ — общая.

2. $\angle ABD = \angle CDB$ (по условию, отмечены одной дугой).

3. $\angle ADB = \angle CBD$ (по условию, отмечены двумя дугами).

Следовательно, $\triangle ABD = \triangle CDB$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Ответ: $\triangle ABD = \triangle CDB$.

в)

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $CBE$.

1. $\angle ABD = \angle CBE$ как вертикальные углы.

2. По условию на рисунке отмечено, что $DB = EB$ (штрихами) и $\angle D = \angle E$ (дугами), т.е. $\angle ADB = \angle CEB$.

Следовательно, $\triangle ABD = \triangle CBE$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Ответ: $\triangle ABD = \triangle CBE$.

г)

Рассмотрим треугольники $DAB$ и $CBA$.

1. Сторона $AB$ — общая.

2. $AD = BC$ (по условию, отмечены штрихами).

3. $\angle DAB = \angle CBA$ (по условию, отмечены дугами).

Следовательно, $\triangle DAB = \triangle CBA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: $\triangle DAB = \triangle CBA$.

д)

Рассмотрим треугольники $ACD$ и $BCE$.

1. По условию $CE = CD$ (отмечены одним штрихом) и $AE = BD$ (отмечены двумя штрихами). Сложив эти равенства, получаем $CE + AE = CD + BD$, то есть $AC = BC$.

2. Угол $C$ — общий для этих треугольников.

Таким образом, в треугольниках $ACD$ и $BCE$ стороны $AC$ и $CD$ равны сторонам $BC$ и $CE$, а угол между ними ($C$) общий. Следовательно, $\triangle ACD = \triangle BCE$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: $\triangle ACD = \triangle BCE$.

е)

Рассмотрим треугольники $ADC$ и $BCD$.

1. Сторона $DC$ — общая.

2. $AD = BC$ (по условию, отмечены штрихами).

3. $\angle ADC = \angle BCD$ (по условию, отмечены дугами).

Следовательно, $\triangle ADC = \triangle BCD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: $\triangle ADC = \triangle BCD$.

9.4. На рисунке 9.5 $BC = CD$, $\angle B = \angle D$. Докажите, что $AC = CE$.

Рис. 9.5

Рис. 9.6

Для доказательства равенства $ AC = CE $ рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle EDC $.

1. По условию задачи дано, что $ BC = CD $.

2. Также по условию угол $ B $ равен углу $ D $. Из рисунка видно, что это прямые углы, то есть $ \angle ABC = \angle EDC = 90^\circ $.

3. Углы $ \angle ACB $ и $ \angle ECD $ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых $ AE $ и $ BD $. По свойству вертикальных углов, они равны: $ \angle ACB = \angle ECD $.

Таким образом, в треугольниках $ \triangle ABC $ и $ \triangle EDC $ сторона и два прилежащих к ней угла соответственно равны: $ BC = CD $, $ \angle ABC = \angle EDC $ (прилежит к стороне BC) и $ \angle ACB = \angle ECD $ (прилежит к стороне BC). Аналогично для $ \triangle EDC $.

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $ \triangle ABC = \triangle EDC $.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $ AC $ лежит напротив угла $ \angle B $, а сторона $ CE $ лежит напротив угла $ \angle D $. Поскольку $ \angle B = \angle D $, то и противолежащие им стороны равны.

Значит, $ AC = CE $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ AC = CE $ доказано на основании равенства треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle EDC $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).