Страница 56 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Назовите виды треугольников в зависимости от соотношения между их сторонами.

2. Какой треугольник называется: а) разносторонним; б) равнобедренным; в) равносторонним?

3. Какие стороны называются боковыми, а какая — основанием равнобедренного треугольника?

4. Что можно сказать об углах при основании равнобедренного треугольника?

5. Сформулируйте признак равнобедренного треугольника.

6. Чем является биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника?

1. Назовите виды треугольников в зависимости от соотношения между их сторонами.

В зависимости от соотношения длин сторон, треугольники классифицируются на три основных вида:

• Разносторонний треугольник — треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину.

• Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны по длине.

• Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все три стороны равны между собой.

Ответ: Разносторонний, равнобедренный, равносторонний.

2. Какой треугольник называется: а) разносторонним; б) равнобедренным; в) равносторонним?

а) разносторонним;

Разносторонним называется треугольник, у которого длины всех трех сторон различны. Если стороны треугольника равны $a, b, c$, то для разностороннего треугольника выполняется условие $a \neq b$, $b \neq c$ и $a \neq c$.

Ответ: Треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину.

б) равнобедренным;

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.

Ответ: Треугольник, у которого две стороны равны.

в) равносторонним?

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, у которого все три стороны равны. Если длина одной стороны такого треугольника равна $a$, то и две другие стороны равны $a$. Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного.

Ответ: Треугольник, у которого все три стороны равны.

3. Какие стороны называются боковыми, а какая — основанием равнобедренного треугольника?

В равнобедренном треугольнике две равные по длине стороны называются боковыми сторонами. Третья сторона называется основанием треугольника.

Ответ: Равные стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.

4. Что можно сказать об углах при основании равнобедренного треугольника?

В равнобедренном треугольнике углы, прилежащие к основанию, равны. Если в треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$), то $AC$ является основанием, а углы при основании $\angle BAC$ и $\angle BCA$ равны между собой.

Ответ: Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

5. Сформулируйте признак равнобедренного треугольника.

Признак равнобедренного треугольника формулируется так: если в треугольнике два угла равны, то такой треугольник является равнобедренным. Стороны, противолежащие равным углам, будут равными боковыми сторонами.

Ответ: Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

6. Чем является биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника?

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к его основанию, обладает уникальным свойством: она является также его медианой и высотой. Это означает, что она не только делит угол при вершине пополам, но и делит основание на два равных отрезка (являясь медианой) и перпендикулярна основанию (являясь высотой).

Ответ: Биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также его медианой и высотой.

10.1. Назовите все равнобедренные треугольники (рис. 10.5).

$ \triangle MNK $

$ \triangle NPQ $

Рис. 10.5

Для определения всех равнобедренных треугольников на рисунке 10.5, необходимо проанализировать каждую из двух представленных фигур.

Фигура слева

На левой фигуре отсутствуют маркировки, указывающие на равенство сторон или углов. В таких случаях в учебных задачах часто предполагается, что нужно исходить из визуального представления. Визуально фигура выглядит так, как будто она симметрична относительно некоторой вертикальной оси. Сделаем предположения на основе этой гипотезы:

1. Треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$, то есть $AC = BC$.

2. Треугольник $ABO$ является равнобедренным с основанием $AB$, то есть $AO = BO$.

Эти предположения можно обосновать более строго. Если предположить, что $AC = BC$ и отрезок $CO$ является биссектрисой угла $C$, то треугольники $\triangle ACO$ и $\triangle BCO$ будут равны по двум сторонам и углу между ними ($AC = BC$, $CO$ — общая, $\angle ACO = \angle BCO$). Из равенства этих треугольников следует, что $AO = BO$, а значит, треугольник $\triangle ABO$ также является равнобедренным.

Таким образом, на левой фигуре можно выделить два равнобедренных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ABO$.

Фигура справа

На правой фигуре равные отрезки обозначены с помощью маркировки. Разные типы маркировки (красные двойные штрихи, зеленые двойные штрихи, знаки "+") обозначают разные длины, но одинаковая маркировка указывает на равенство отрезков.

1. В треугольнике $\triangle MNK$ стороны $MN$ и $NK$ отмечены одинаковыми красными двойными штрихами. Это означает, что $MN = NK$. Согласно определению, треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Следовательно, $\triangle MNK$ — равнобедренный.

2. В треугольнике $\triangle PNQ$ стороны $NP$ и $NQ$ отмечены одинаковыми зелеными двойными штрихами. Это означает, что $NP = NQ$. Следовательно, $\triangle PNQ$ также является равнобедренным.

На основании маркировки, других равнобедренных треугольников на этой фигуре нет, так как в остальных треугольниках (например, $\triangle MPN$) все стороны имеют разную маркировку и, следовательно, разную длину.

Ответ: На рисунке 10.5 равнобедренными являются треугольники: $\triangle ABC$, $\triangle ABO$, $\triangle MNK$, $\triangle PNQ$.

10.2. Изобразите какой-нибудь равнобедренный треугольник, основанием которого является отрезок $AB$, а вершина $C$ находится в одном из узлов сетки (рис. 10.6).

а)

б)

Рис. 10.6

а) Чтобы треугольник $ABC$ был равнобедренным с основанием $AB$, необходимо, чтобы его боковые стороны $AC$ и $BC$ были равны: $AC = BC$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек $A$ и $B$, — это серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Следовательно, вершина $C$ должна лежать на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Кроме того, по условию, точка $C$ должна быть узлом сетки.

В данном случае отрезок $AB$ горизонтален и его длина составляет 4 единицы (длины стороны клетки сетки). Середина отрезка $AB$ находится на расстоянии 2 единиц от точек $A$ и $B$. Серединный перпендикуляр будет вертикальной линией, проходящей через середину отрезка $AB$.

Выберем в качестве вершины $C$ любой узел сетки, лежащий на этой вертикальной линии (кроме точки на самом отрезке $AB$). Например, можно выбрать узел, который находится на 2 клетки выше середины отрезка $AB$. Построим треугольник $ABC$ с этой вершиной.

Проверим равенство сторон $AC$ и $BC$ с помощью теоремы Пифагора. Пусть сторона клетки равна 1. Каждая из боковых сторон ($AC$ и $BC$) является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 2 и 2.

Длина боковой стороны: $AC = BC = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8}$.

Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ является равнобедренным.

Ответ:

б) Аналогично пункту а), вершина $C$ равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AB$ должна лежать на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$.

В этом случае отрезок $AB$ вертикален, и его длина составляет 2 единицы. Середина отрезка $AB$ делит его пополам. Серединный перпендикуляр — это горизонтальная линия, проходящая через середину отрезка $AB$.

Выберем в качестве вершины $C$ любой узел сетки, лежащий на этой горизонтальной линии (кроме точки на самом отрезке $AB$). Например, можно выбрать узел, который находится на 2 клетки правее середины отрезка $AB$. Построим треугольник $ABC$.

Проверим равенство сторон $AC$ и $BC$ по теореме Пифагора. Пусть сторона клетки равна 1. Каждая из боковых сторон ($AC$ и $BC$) является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 2 и 1.

Длина боковой стороны: $AC = BC = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$.

Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ является равнобедренным.

Ответ: