Страница 63 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.2. На рисунке 11.4 $AB = DC$ и $BC = AD$. Докажите, что угол $B$ равен углу $D$.

Рис. 11.4

Для доказательства того, что угол $B$ равен углу $D$, рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$, которые образуются при проведении диагонали $AC$.

Сравним эти треугольники по их сторонам:
1. $AB = DC$ по условию задачи.
2. $BC = AD$ по условию задачи.
3. $AC$ является общей стороной для обоих треугольников.

Так как три стороны одного треугольника ($\triangle ABC$) соответственно равны трем сторонам другого треугольника ($\triangle CDA$), то эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных элементов, в том числе и углов. В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы. Угол $B$ в треугольнике $\triangle ABC$ и угол $D$ в треугольнике $\triangle CDA$ лежат против общей стороны $AC$. Следовательно, эти углы являются соответственными и равны между собой.

Таким образом, $\angle B = \angle D$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство углов $B$ и $D$ доказано. Оно следует из того, что $\triangle ABC = \triangle CDA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), а углы $B$ и $D$ являются соответственными углами в этих треугольниках.

11.3. На рисунке 11.5 $AB = DC$ и $BC = AD$, угол $BAC$ равен $31^\circ$, угол $BCA$ равен $29^\circ$. Найдите угол $ACD$.

Рис. 11.5

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, изображенный на рисунке.

По условию задачи дано, что противолежащие стороны четырехугольника попарно равны: $AB = DC$ и $BC = AD$.

Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

Для нахождения угла $ACD$ можно использовать два способа.

Способ 1: Использование свойств параллельных прямых

Одно из основных свойств параллелограмма заключается в том, что его противолежащие стороны параллельны. В нашем случае сторона $AB$ параллельна стороне $DC$ ($AB \parallel DC$).

Диагональ $AC$ является секущей, пересекающей эти параллельные прямые.

Углы $\angle BAC$ и $\angle ACD$ — это внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых $AB$ и $DC$ секущей $AC$. По свойству параллельных прямых, такие углы равны.

$\angle ACD = \angle BAC$

Из условия задачи известно, что $\angle BAC = 31^\circ$.

Следовательно, $\angle ACD = 31^\circ$.

Способ 2: Через равенство треугольников

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$. Сравним их элементы:

1. Сторона $AB$ равна стороне $CD$ ($AB = CD$ по условию).

2. Сторона $BC$ равна стороне $DA$ ($BC = DA$ по условию).

3. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие углы равны. В треугольнике $\triangle CDA$ угол $\angle ACD$ лежит против стороны $AD$. В равном ему треугольнике $\triangle ABC$ против равной стороны $BC$ ($BC=AD$) лежит угол $\angle BAC$.

Следовательно, $\angle ACD = \angle BAC$.

Поскольку по условию $\angle BAC = 31^\circ$, то и $\angle ACD = 31^\circ$.

Стоит отметить, что данная в условии величина угла $\angle BCA = 29^\circ$ является дополнительной информацией, которая не требуется для нахождения угла $\angle ACD$, но может быть использована для вычисления других элементов параллелограмма (например, $\angle DAC = \angle BCA = 29^\circ$ как накрест лежащие при $BC \parallel AD$).

Ответ: $31^\circ$.

11.4. На рисунке 11.6 $AB = BD$ и $AC = CD$, угол $ABC$ равен $61^\circ$, угол $ACB$ равен $59^\circ$. Найдите угол $BCD$.

Рис. 11.6

Решение

Рассмотрим два треугольника: $\Delta ABC$ и $\Delta DBC$.

Согласно условию задачи, у нас есть следующие равенства сторон:

1. $AB = BD$ (отмечено одной черточкой на рисунке).

2. $AC = CD$ (отмечено двумя черточками на рисунке).

3. Сторона $BC$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, три стороны треугольника $\Delta ABC$ равны трем соответствующим сторонам треугольника $\Delta DBC$. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам, SSS), мы можем заключить, что эти треугольники равны:

$\Delta ABC \cong \Delta DBC$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Углы, лежащие напротив равных сторон, являются соответственными.

В $\Delta ABC$ угол $\angle ACB$ лежит напротив стороны $AB$.

В $\Delta DBC$ угол $\angle DCB$ (или $\angle BCD$) лежит напротив стороны $DB$.

Поскольку стороны $AB$ и $DB$ равны ($AB = DB$), то и противолежащие им углы должны быть равны:

$\angle BCD = \angle ACB$.

Из условия задачи мы знаем, что $\angle ACB = 59^\circ$.

Следовательно, $\angle BCD = 59^\circ$.

Примечание: Геометрический чертеж на рисунке является некорректным и противоречит условиям задачи. Если бы рисунок был верен, то сумма углов в $\Delta BCD$ не была бы равна $180^\circ$. В таких случаях следует доверять текстовому условию, а не иллюстрации.

Ответ: $59^\circ$.