Страница 57 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.3. Изобразите какой-нибудь равнобедренный треугольник, основанием которого является отрезок $AB$, а вершина $C$ находится в одном из узлов сетки (рис. 10.7).

а)

б)

Рис. 10.7

Для того чтобы треугольник $ABC$ был равнобедренным с основанием $AB$, необходимо, чтобы длины боковых сторон $AC$ и $BC$ были равны. Геометрически это означает, что вершина $C$ должна лежать на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Задача состоит в том, чтобы найти такую точку $C$ в узле сетки, которая удовлетворяет этому условию.

а) Введем систему координат, приняв левый верхний узел сетки за начало (0, 0). Тогда точка $A$ имеет координаты (0, 1), а точка $B$ — (2, 3).
1. Найдем координаты середины $M$ отрезка $AB$:
$M = (\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}) = (\frac{0+2}{2}, \frac{1+3}{2}) = (1, 2)$.
2. Найдем угловой коэффициент (тангенс угла наклона) прямой $AB$:
$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{3 - 1}{2 - 0} = \frac{2}{2} = 1$.
3. Угловой коэффициент серединного перпендикуляра $k_{\perp}$ связан с $k_{AB}$ соотношением $k_{\perp} = -1/k_{AB}$.
$k_{\perp} = -1/1 = -1$.
4. Уравнение серединного перпендикуляра, проходящего через точку $M(1, 2)$ с угловым коэффициентом -1, имеет вид $y - y_M = k_{\perp}(x - x_M)$, то есть $y - 2 = -1(x - 1)$, что упрощается до $y = -x + 3$.
5. Теперь найдем целочисленные решения этого уравнения (узлы сетки), которые лежат на данной прямой. Подставляя целые значения $x$, находим соответствующие значения $y$:
При $x=0$, $y=3$. Точка (0, 3).
При $x=2$, $y=1$. Точка (2, 1).
При $x=3$, $y=0$. Точка (3, 0).
Любая из этих точек может быть выбрана в качестве вершины $C$. Выберем, например, точку $C(2, 1)$. Построим треугольник $ABC$.

Ответ:

б) Аналогично введем систему координат с началом в левом верхнем узле. Координаты точек: $A(0, 1)$ и $B(3, 2)$.
1. Найдем координаты середины $M$ отрезка $AB$:
$M = (\frac{0+3}{2}, \frac{1+2}{2}) = (1.5, 1.5)$.
2. Найдем угловой коэффициент прямой $AB$:
$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{2 - 1}{3 - 0} = \frac{1}{3}$.
3. Угловой коэффициент серединного перпендикуляра:
$k_{\perp} = -1/k_{AB} = -1/(1/3) = -3$.
4. Уравнение серединного перпендикуляра, проходящего через точку $M(1.5, 1.5)$ с угловым коэффициентом -3: $y - 1.5 = -3(x - 1.5)$, что упрощается до $y = -3x + 6$.
5. Найдем узлы сетки, лежащие на этой прямой:
При $x=1$, $y=-3(1)+6 = 3$. Точка (1, 3).
При $x=2$, $y=-3(2)+6 = 0$. Точка (2, 0).
Обе эти точки находятся в узлах сетки. Выберем, например, точку $C(2, 0)$ и построим треугольник $ABC$.

Ответ:

10.4. Изобразите какой-нибудь равнобедренный прямоугольный треугольник, одной стороной которого является отрезок $AB$, а вершина $C$ находится в одном из узлов сетки (рис. 10.8).

а)

б)

Рис. 10.8

а) Для построения равнобедренного прямоугольного треугольника, одной из сторон которого является отрезок $AB$, необходимо рассмотреть два случая: отрезок $AB$ является катетом или гипотенузой.

Введем систему координат, приняв сторону клетки сетки за единицу. Пусть точка $A$ имеет координаты $(0, 0)$. Тогда точка $B$ будет иметь координаты $(3, 2)$, так как для перемещения из $A$ в $B$ нужно сдвинуться на 3 клетки вправо и на 2 клетки вверх. Найдем квадрат длины отрезка $AB$ по теореме Пифагора:

$AB^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$.

Случай 1: $AB$ — гипотенуза.

Если $AB$ — гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$, то его катеты $AC$ и $BC$ равны. По теореме Пифагора, $AC^2 + BC^2 = AB^2$. Так как $AC = BC$, то $2 \cdot AC^2 = 13$, откуда $AC^2 = 6.5$. Длина отрезка, соединяющего два узла сетки, в квадрате всегда является целым числом (как сумма квадратов целых чисел). Поскольку $6.5$ не является целым числом, точка $C$ не может находиться в узле сетки. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2: $AB$ — катет.

Если $AB$ — катет, то прямой угол может быть либо при вершине $A$, либо при вершине $B$.

Если прямой угол находится в вершине $A$, то второй катет $AC$ должен быть равен и перпендикулярен катету $AB$. Вектор $\vec{AB}$ имеет координаты $(3, 2)$. Перпендикулярный ему вектор такой же длины можно получить, поменяв координаты местами и изменив знак одной из них. Таким образом, вектор $\vec{AC}$ может иметь координаты $(-2, 3)$ или $(2, -3)$.

Если прямой угол находится в вершине $B$, то второй катет $BC$ должен быть равен и перпендикулярен катету $BA$. Вектор $\vec{BA}$ имеет координаты $(-3, -2)$. Перпендикулярные ему векторы равной длины: $(2, -3)$ и $(-2, 3)$.

Мы можем выбрать любой из этих вариантов для построения. Выберем вариант, где прямой угол находится в вершине $B$, а вектор $\vec{BC}$ имеет координаты $(-2, 3)$. Это означает, что для нахождения точки $C$ нужно от точки $B$ отступить на 2 клетки влево и на 3 клетки вверх.

Ответ:

б) Аналогично пункту а), рассмотрим два случая для отрезка $AB$.

Примем сторону клетки за единицу. В данном случае отрезок $AB$ горизонтален. Пусть $A$ имеет координаты $(0, 0)$. Тогда $B$ имеет координаты $(3, 0)$. Квадрат длины отрезка $AB$ равен:

$AB^2 = 3^2 + 0^2 = 9$.

Случай 1: $AB$ — гипотенуза.

Если $AB$ — гипотенуза, то для катетов $AC$ и $BC$ должно выполняться $2 \cdot AC^2 = AB^2$. Тогда $2 \cdot AC^2 = 9$, и $AC^2 = 4.5$. Поскольку $4.5$ не является целым числом, точка $C$ не может находиться в узле сетки. Этот случай невозможен.

Случай 2: $AB$ — катет.

Если $AB$ — катет, то прямой угол может быть при вершине $A$ или $B$.

Если прямой угол в вершине $A$, то катет $AC$ перпендикулярен $AB$. Вектор $\vec{AB}$ имеет координаты $(3, 0)$. Перпендикулярные ему векторы равной длины: $(0, 3)$ и $(0, -3)$. Это означает, что точку $C$ можно найти, сместившись из точки $A$ на 3 клетки вверх или на 3 клетки вниз.

Если прямой угол в вершине $B$, то катет $BC$ перпендикулярен $BA$. Вектор $\vec{BA}$ имеет координаты $(-3, 0)$. Перпендикулярные ему векторы равной длины: $(0, 3)$ и $(0, -3)$. Точку $C$ можно найти, сместившись из точки $B$ на 3 клетки вверх или на 3 клетки вниз.

Выберем вариант, где прямой угол находится в вершине $A$, а точка $C$ расположена выше отрезка $AB$. Для этого от точки $A$ отступим на 3 клетки вверх.

Ответ: