Страница 53 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

9.15. На рисунке 9.15 угол $DAB$ равен углу $CBA$, угол $CAB$ равен углу $DBA$, $CA = 13$ см. Найдите $DB$.

Рис. 9.15

Рассмотрим треугольники $ΔDAB$ и $ΔCBA$.
По условию задачи нам дано, что $∠DAB = ∠CBA$ и $∠CAB = ∠DBA$. Сторона $AB$ является общей для этих двух треугольников.
Сравним треугольники по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам):
1. $∠DAB = ∠CBA$ (по условию).
2. $AB$ — общая сторона.
3. $∠DBA = ∠CAB$ (по условию).
Следовательно, треугольники равны: $ΔDAB ≅ ΔCBA$.
В равных треугольниках соответствующие стороны равны. Сторона $DB$ в треугольнике $ΔDAB$ лежит напротив угла $∠DAB$. Сторона $CA$ в треугольнике $ΔCBA$ лежит напротив угла $∠CBA$. Так как по условию $∠DAB = ∠CBA$, то и стороны, лежащие напротив них, равны: $DB = CA$.
Поскольку нам дано, что $CA = 13$ см, то и $DB = 13$ см.
Ответ: 13 см.

9.16. В четырехугольнике ABCD угол $ \angle DAB $ равен углу $ \angle CBA $, диагонали AC и BD образуют со стороной AB равные углы (рис. 9.16), $ AD = 3 \text{ см} $, $ AC = 4 \text{ см} $, $ CD = 5 \text{ см} $. Найдите BD.

Рис. 9.16

Рис. 9.17

Рассмотрим треугольники $DAB$ и $CBA$.
В этих треугольниках:
1. Сторона $AB$ является общей.
2. Угол $DAB$ равен углу $CBA$ ($\angle DAB = \angle CBA$) по условию задачи.
3. Угол, который диагональ $BD$ образует со стороной $AB$, равен углу, который диагональ $AC$ образует со стороной $AB$. То есть, $\angle DBA = \angle CAB$ по условию задачи.

Таким образом, треугольник $DAB$ равен треугольнику $CBA$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон. Сторона $BD$ в треугольнике $DAB$ лежит напротив угла $DAB$. Сторона $AC$ в треугольнике $CBA$ лежит напротив угла $CBA$.
Поскольку углы $\angle DAB$ и $\angle CBA$ равны, то и противолежащие им стороны $BD$ и $AC$ также равны.
$BD = AC$.
По условию задачи нам дано, что длина диагонали $AC$ равна 4 см.
Следовательно, $BD = 4$ см.
(Заметим, что информация о длинах сторон $AD=3$ см и $CD=5$ см является избыточной для нахождения длины диагонали $BD$).

Ответ: 4 см.

9.17. На рисунке 9.17 $AE = AC$, $\angle 1 = \angle 2$, $\angle A = 50^\circ$, $\angle B = 40^\circ$. Найдите $\angle D$.

Рис. 9.17

Для решения задачи рассмотрим два треугольника: $△ABC$ и $△ADE$.

На основании предоставленных данных и рисунка, мы можем сделать следующие выводы и провести анализ:

1. Рассмотрим треугольники $△ABC$ и $△ADE$.

2. Угол $A$ является общим для обоих треугольников. Из условия задачи $∠A = 50°$. Таким образом, $∠BAC = ∠EAD = 50°$.

3. Из условия дано, что сторона $AE = AC$. На рисунке это отмечено одинаковыми черточками.

4. Также по условию $∠1 = ∠2$. Из рисунка видно, что $∠1$ — это угол $∠AED$, а $∠2$ — это угол $∠ACB$. Следовательно, $∠AED = ∠ACB$.

5. Теперь у нас есть три элемента для сравнения треугольников $△ABC$ и $△ADE$:

• $∠BAC = ∠EAD$ (общий угол)
• $AC = AE$ (по условию)
• $∠ACB = ∠AED$ (по условию)

Эти три равенства соответствуют второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, ASA). Таким образом, $△ABC ≅ △ADE$.

6. Из равенства треугольников следует равенство всех их соответствующих элементов. В частности, равны углы, лежащие напротив равных сторон. Угол $∠ABC$ в треугольнике $△ABC$ лежит напротив стороны $AC$. Угол $∠ADE$ в треугольнике $△ADE$ лежит напротив стороны $AE$. Поскольку $AC = AE$, то и противолежащие им углы должны быть равны: $∠ABC = ∠ADE$.

7. По условию задачи $∠B = 40°$, что соответствует углу $∠ABC$.

8. Следовательно, $∠ADE = ∠ABC = 40°$.

Угол $D$, который нужно найти, — это угол $∠ADE$.

Ответ: $40°$.

9.18. По рисунку 9.18 объясните, как можно найти расстояние от точки А до недоступной точки B, например дерева на острове.

Рис. 9.18

Чтобы найти расстояние от доступной точки А до недоступной точки В, можно использовать метод, основанный на равенстве треугольников. Суть метода заключается в построении на доступной местности треугольника, равного воображаемому треугольнику АВС, одна из сторон которого является искомым расстоянием.

Порядок действий на местности:

1. Из точки А провешиваем (прокладываем) прямую линию перпендикулярно направлению на точку В. Для этого с помощью угломерного инструмента (например, эккера или теодолита) откладываем угол $ \angle BAC = 90^\circ $.

2. Двигаемся по этой прямой на некоторое расстояние и отмечаем точку С. Измеряем длину отрезка АС.

3. В точке С измеряем угол $ \angle BCA $, образованный направлением на точку В и отрезком СА.

4. Теперь строим второй треугольник. В точке С откладываем от отрезка СА угол $ \angle ACD = 90^\circ $ в полуплоскость, противоположную той, где находится точка В.

5. В точке А откладываем от отрезка АС угол $ \angle CAD $, равный ранее измеренному углу $ \angle BCA $.

6. Лучи, построенные в шагах 4 и 5, пересекутся в некоторой точке D.

7. Измеряем расстояние CD. Это расстояние будет равно искомому расстоянию AB.

Обоснование этого метода строится на втором признаке равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle CDA $:

- Сторона $ AC $ является общей для обоих треугольников.

- Угол $ \angle BAC = \angle ACD = 90^\circ $ по построению.

- Угол $ \angle BCA = \angle CAD $ по построению.

Поскольку сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то $ \triangle ABC = \triangle CDA $.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $ AB $, лежащая против угла $ \angle BCA $, равна стороне $ CD $, лежащей против равного ему угла $ \angle CAD $.

Следовательно, $ AB = CD $. Так как точки С и D доступны, расстояние между ними можно измерить рулеткой или дальномером.

Ответ: Необходимо на местности построить треугольник CDA, равный треугольнику ABC, в соответствии с описанным алгоритмом. Искомое расстояние AB будет равно длине отрезка CD, который можно измерить напрямую.

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

9.19. Изобразите треугольник, у которого две стороны равны. Измерьте с помощью транспортира углы, прилежащие к третьей стороне. Равны ли они?

Для выполнения задания необходимо сначала изобразить треугольник, у которого две стороны равны. Такой треугольник называется равнобедренным. Обозначим его вершины буквами $A$, $B$ и $C$. Пусть в нашем треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ будут равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами. Третья сторона, $AC$, называется основанием треугольника.

Далее, согласно заданию, нужно измерить с помощью транспортира углы, прилежащие к третьей стороне (основанию $AC$). Этими углами являются угол при вершине $A$ ($\angle BAC$ или $\angle A$) и угол при вершине $C$ ($\angle BCA$ или $\angle C$).

Для измерения угла $\angle A$ нужно совместить центр транспортира с вершиной $A$, а его нулевую линию — со стороной $AC$. Затем посмотреть, на какое деление шкалы указывает сторона $AB$. Проделав ту же операцию для угла $\angle C$ (совместив центр транспортира с вершиной $C$, а нулевую линию — со стороной $AC$), можно определить его величину.

Если выполнить построение и измерения аккуратно, то мы обнаружим, что значения углов $\angle A$ и $\angle C$ равны. Например, для треугольника, подобного изображенному выше, измерения покажут, что $\angle A \approx 53^\circ$ и $\angle C \approx 53^\circ$. Возможные незначительные расхождения в результатах могут быть вызваны погрешностями при построении или неточностью самого транспортира. Однако вывод, который можно сделать из этого эксперимента, однозначен.

Этот эксперимент иллюстрирует важное свойство равнобедренных треугольников, которое является теоремой в геометрии: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Ответ: Да, углы, прилежащие к третьей стороне, равны.