Страница 48 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

8.17. Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками $A$ и $B$, между которыми нельзя пройти по прямой (рис. 8.13), выбирают какую-нибудь точку $C$, для которой можно измерить расстояния $AC$ и $BC$, и откладывают отрезки $CD = AC$ и $CE = BC$. Тогда расстояние между точками $E$ и $D$ будет равно искомому расстоянию. Объясните, почему.

Данный метод измерения расстояния основан на принципе равенства треугольников. Рассмотрим построение, описанное в задаче, и докажем, что расстояние $ED$ равно расстоянию $AB$.

Рассмотрим два треугольника, которые образуются в результате построений: $\triangle ABC$ и $\triangle DEC$.

1. По условию задачи, отрезки откладываются таким образом, что $CD = AC$ и $CE = BC$. Это означает, что две стороны одного треугольника ($\triangle DEC$) равны двум сторонам другого треугольника ($\triangle ABC$).

2. Точки $A$, $C$, $D$ лежат на одной прямой. Аналогично, точки $B$, $C$, $E$ лежат на одной прямой. Углы $\angle ACB$ и $\angle DCE$ образованы пересечением этих двух прямых. Такие углы называются вертикальными, и по свойству вертикальных углов они равны: $\angle ACB = \angle DCE$.

3. Таким образом, мы имеем два треугольника ($\triangle ABC$ и $\triangle DEC$), у которых две стороны и угол между ними соответственно равны:

- $AC = DC$ (по построению)

- $BC = EC$ (по построению)

- $\angle ACB = \angle DCE$ (как вертикальные углы)

4. Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle DEC$.

5. Из равенства треугольников следует равенство всех их соответствующих элементов, включая стороны. Сторона $AB$ в треугольнике $\triangle ABC$ лежит напротив угла $\angle ACB$. Сторона $DE$ в треугольнике $\triangle DEC$ лежит напротив равного ему угла $\angle DCE$. Значит, эти стороны являются соответствующими, и их длины равны: $AB = DE$.

Именно поэтому, измерив на местности легкодоступное расстояние $DE$, можно узнать искомое расстояние $AB$.

Ответ: Расстояние $ED$ равно искомому расстоянию $AB$, так как треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle DEC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам $AC=DC$, $BC=EC$ и углу между ними $\angle ACB = \angle DCE$).

8.18. Верно ли, что если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны?

Нет, данное утверждение в общем случае неверно.

Равенство треугольников по двум сторонам и углу гарантируется только в том случае, если этот угол находится между двумя данными сторонами. Этот признак известен как первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, или СУС).

Если же равный угол не лежит между двумя равными сторонами (этот случай называют ССУ — сторона-сторона-угол), то треугольники не обязательно будут равны. Существуют ситуации, когда можно построить два совершенно разных треугольника, которые будут удовлетворять этому условию. Это называется неоднозначным случаем в задаче на построение треугольника.

Рассмотрим контрпример, иллюстрирующий эту неоднозначность.

На рисунке показано, как можно построить два разных треугольника $ \triangle ABC_1 $ и $ \triangle ABC_2 $.
В этих треугольниках:
1. Угол $ \angle A $ (обозначен как $ \alpha $) — общий.
2. Сторона $ AB $ (обозначена как $ c $) — общая.
3. Стороны $ BC_1 $ и $ BC_2 $ (обозначены как $ a $) равны, так как они построены как радиусы одной окружности с центром в точке $ B $.

Таким образом, мы имеем два треугольника ($ \triangle ABC_1 $ и $ \triangle ABC_2 $), у которых две стороны и угол, не лежащий между ними, соответственно равны ($ AB, BC_1, \angle A $ у одного и $ AB, BC_2, \angle A $ у другого). Однако эти треугольники очевидно не равны друг другу, так как их третья сторона $ AC_1 $ не равна стороне $ AC_2 $, и другие углы также не равны.

Ответ: Нет, утверждение неверно. Равенство треугольников по двум сторонам и углу будет гарантировано только в том случае, если этот угол заключен между данными сторонами.

8.19. Два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника. Будут ли эти треугольники равны? Приведите пример.

Нет, эти треугольники не обязательно будут равны. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники являются подобными, но не обязательно равными.

Равенство двух углов гарантирует и равенство третьего угла, так как сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Пусть в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ углы $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$. Тогда третий угол $\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$ и $\angle C_1 = 180^\circ - (\angle A_1 + \angle B_1)$, откуда следует, что $\angle C = \angle C_1$.

Треугольники, у которых соответственные углы равны, называются подобными. Для того чтобы треугольники были равны (конгруэнтны), необходимо, чтобы помимо равенства углов, была равна хотя бы одна пара соответственных сторон (например, по признаку равенства "сторона и два прилежащих к ней угла" или "сторона и два любых угла"). Если информация о сторонах отсутствует, мы не можем утверждать, что треугольники равны.

Пример:

Рассмотрим два прямоугольных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, в которых $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$ и $\angle A = \angle A_1 = 30^\circ$. Условие о равенстве двух углов соблюдается.

Тогда и третьи углы будут равны: $\angle B = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ и $\angle B_1 = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Все углы этих треугольников соответственно равны: $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$.

Однако, их стороны могут иметь разную длину. Пусть катет, лежащий против угла в $30^\circ$ в $\triangle ABC$, равен $BC = 5$ см. Тогда гипотенуза $AB = 10$ см, а катет $AC = 5\sqrt{3}$ см.

А в треугольнике $\triangle A_1B_1C_1$ пусть катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен $B_1C_1 = 7$ см. Тогда гипотенуза $A_1B_1 = 14$ см, а катет $A_1C_1 = 7\sqrt{3}$ см.

Очевидно, что стороны треугольников не равны, а значит и сами треугольники не равны, хотя два (и даже три) их угла соответственно равны. На рисунке ниже показаны два таких подобных, но не равных треугольника.

Ответ: Нет, треугольники не обязательно будут равны. Они будут подобны.

Как вы думаете, равны ли эти треугольники?

Самостоятельно запишите равенства элементов треугольников ABC и DEF, участвующих во втором признаке равенства треугольников.

Да, эти треугольники равны, если для них выполняется один из признаков равенства треугольников. Второй вопрос указывает на использование второго признака равенства (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Согласно этому признаку, если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Таким образом, при выполнении этих условий треугольники будут равны.

Ответ: Да, эти треугольники равны, если выполняется второй признак равенства треугольников (равенство стороны и двух прилежащих к ней углов).

Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам) для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle DEF$ требует выполнения трех условий: одна сторона и два угла, прилежащие к этой стороне, в $\triangle ABC$ должны быть соответственно равны одной стороне и двум прилежащим к ней углам в $\triangle DEF$.

Существует три возможных набора равенств, в зависимости от выбранной стороны:

1. Если выбрана сторона $AB$ в $\triangle ABC$ и соответствующая ей сторона $DE$ в $\triangle DEF$, то необходимые равенства элементов будут:
$AB = DE$ (равенство сторон)
$\angle A = \angle D$ (равенство одного прилежащего угла)
$\angle B = \angle E$ (равенство второго прилежащего угла)

2. Если выбрана сторона $BC$ и соответствующая ей сторона $EF$:
$BC = EF$
$\angle B = \angle E$
$\angle C = \angle F$

3. Если выбрана сторона $AC$ и соответствующая ей сторона $DF$:
$AC = DF$
$\angle A = \angle D$
$\angle C = \angle F$

Выполнение любого из этих трех наборов условий достаточно для доказательства равенства треугольников $\triangle ABC = \triangle DEF$.

Ответ: $AC = DF$, $\angle A = \angle D$, $\angle C = \angle F$ (это один из трех возможных вариантов).