Страница 41 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какая фигура называется треугольником?

2. Как обозначается треугольник?

3. Что называется медианой треугольника?

4. Что называется биссектрисой треугольника?

5. Что называется высотой треугольника?

6. Что называется периметром треугольника?

7. Какие треугольники называются равными?

8. Какой треугольник называется:

а) остроугольным;

б) прямоугольным;

в) тупоугольным?

1. Какая фигура называется треугольником?
Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами. Стороны треугольника образуют три угла при его вершинах.

На рисунке показан треугольник с вершинами A, B, C и сторонами AB, BC, AC.
Ответ: Треугольник — это фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, соединяющими эти точки.

2. Как обозначается треугольник?
Треугольник обозначается с помощью символа треугольника $ \triangle $ и букв, обозначающих его вершины. Например, треугольник с вершинами в точках A, B и C обозначается как $ \triangle ABC $. Порядок записи вершин не имеет значения, то есть $ \triangle ABC $, $ \triangle BCA $ и $ \triangle CAB $ — это обозначения одного и того же треугольника.
Ответ: Треугольник обозначается символом $ \triangle $ и следующими за ним буквами его вершин, например, $ \triangle ABC $.

3. Что называется медианой треугольника?
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. У каждого треугольника есть три медианы, и все они пересекаются в одной точке, которая называется центроидом треугольника.

На рисунке отрезок AM — медиана, проведенная из вершины A к стороне BC. Точка M — середина стороны BC, поэтому $BM = MC$.
Ответ: Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны.

4. Что называется биссектрисой треугольника?
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противоположной стороне. Биссектриса делит угол на два равных угла. В каждом треугольнике есть три биссектрисы, которые пересекаются в одной точке — центре вписанной окружности.

На рисунке отрезок AL — биссектриса, проведенная из вершины A. Она делит угол BAC на два равных угла: $ \angle BAL = \angle LAC $.
Ответ: Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.

5. Что называется высотой треугольника?
Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону. У каждого треугольника есть три высоты, которые пересекаются в одной точке — ортоцентре.

На рисунке отрезок AH — высота, проведенная из вершины A к стороне BC. Она перпендикулярна стороне BC, то есть $ \angle AHB = 90^\circ $.
Ответ: Высота треугольника — это перпендикуляр, проведенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону.

6. Что называется периметром треугольника?
Периметром треугольника называется сумма длин всех его трех сторон. Если стороны треугольника имеют длины $a$, $b$ и $c$, то его периметр $P$ вычисляется по формуле:
$P = a + b + c$
Ответ: Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон.

7. Какие треугольники называются равными?
Два треугольника называются равными (или конгруэнтными), если их можно совместить наложением. У равных треугольников соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. Если треугольник $ \triangle ABC $ равен треугольнику $ \triangle A_1B_1C_1 $, то это записывают так: $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $. Это означает, что $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$, а также $ \angle A = \angle A_1 $, $ \angle B = \angle B_1 $, $ \angle C = \angle C_1 $.

Ответ: Равными называются треугольники, которые можно совместить наложением.

8. Какой треугольник называется: а) остроугольным; б) прямоугольным; в) тупоугольным?
Треугольники классифицируются по величине их углов следующим образом:
а) остроугольным называется треугольник, у которого все три угла острые (то есть меньше $90^\circ$).
б) прямоугольным называется треугольник, у которого один из углов прямой (равен $90^\circ$). Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны — катетами.
в) тупоугольным называется треугольник, у которого один из углов тупой (больше $90^\circ$).

Ответ: а) остроугольный — все углы острые; б) прямоугольный — один угол прямой; в) тупоугольный — один угол тупой.

7.3. Могут ли быть равны:

а) остроугольный и прямоугольный треугольники;

б) остроугольный и тупоугольный треугольники;

в) прямоугольный и тупоугольный треугольники?

а) Нет, остроугольный и прямоугольный треугольники не могут быть равны. По определению, у остроугольного треугольника все три угла острые, то есть их градусная мера меньше $90^\circ$. В прямоугольном треугольнике один из углов прямой, то есть равен $90^\circ$. Два треугольника равны, если их соответственные углы и стороны равны. Следовательно, если бы эти треугольники были равны, их наборы углов должны были бы быть идентичными. Это означало бы, что у остроугольного треугольника должен быть угол в $90^\circ$, что противоречит его определению. Таким образом, остроугольный и прямоугольный треугольники не могут быть равны.
Ответ: нет.

б) Нет, остроугольный и тупоугольный треугольники не могут быть равны. У остроугольного треугольника все углы меньше $90^\circ$. У тупоугольного треугольника, по определению, есть один тупой угол, то есть угол, градусная мера которого больше $90^\circ$. Если бы эти треугольники были равны, их наборы углов должны были бы совпадать. Это означало бы, что у остроугольного треугольника есть угол больше $90^\circ$, что противоречит определению остроугольного треугольника. Следовательно, они не могут быть равны.
Ответ: нет.

в) Нет, прямоугольный и тупоугольный треугольники не могут быть равны. В прямоугольном треугольнике самый большой угол равен ровно $90^\circ$. В тупоугольном треугольнике самый большой угол всегда больше $90^\circ$. Поскольку у равных треугольников наборы углов должны быть одинаковы, а самый большой угол в этих двух типах треугольников заведомо разный, они не могут быть равны. У одного наибольший угол $90^\circ$, у другого — больше $90^\circ$.
Ответ: нет.

7.5. Может ли проходить вне треугольника его:

а) медиана;

б) биссектриса;

в) высота?

а) медиана
Нет, медиана не может проходить вне треугольника. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Так как вершина принадлежит треугольнику, и середина противоположной стороны также лежит на границе треугольника, то весь отрезок медианы будет находиться внутри треугольника. Это следует из свойства выпуклости треугольника: любой отрезок, концы которого принадлежат выпуклой фигуре, целиком лежит внутри этой фигуры.
Ответ: нет.

б) биссектриса
Нет, биссектриса не может проходить вне треугольника. Биссектриса угла треугольника — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на противоположной стороне и делит соответствующий угол пополам. Как и в случае с медианой, оба конца биссектрисы (вершина и точка на противоположной стороне) принадлежат треугольнику. Из-за выпуклости треугольника отрезок биссектрисы полностью располагается внутри него.
Ответ: нет.

в) высота
Да, высота может проходить вне треугольника. Высота — это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. В тупоугольном треугольнике две из трех высот опускаются на продолжения сторон, и, следовательно, их большая часть находится вне треугольника.
Например, рассмотрим тупоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $C$ — тупой (то есть $ \angle C > 90^\circ $). Высота $BH$, проведенная из вершины $B$ к прямой, содержащей сторону $AC$, пересечет эту прямую за пределами отрезка $AC$. Таким образом, высота $BH$ (кроме точки $B$) будет лежать вне треугольника.

Ответ: да.