Страница 34 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

6.5. Чему равен угол между направлениями на запад и северо-восток?

Для нахождения угла между двумя направлениями, представим их на компасе или в виде векторов на координатной плоскости. Стандартная система направлений (роза ветров) делит полный круг ($360^\circ$) на основные и промежуточные румбы.

1. Определим азимуты направлений. Азимут — это угол, отсчитываемый по часовой стрелке от направления на север.

• Направление на север (С) принимается за $0^\circ$.
• Направление на восток (В) — $90^\circ$.
• Направление на юг (Ю) — $180^\circ$.
• Направление на запад (З) — $270^\circ$.

2. Направление на запад соответствует азимуту $270^\circ$.

3. Направление на северо-восток (СВ) находится ровно посередине между севером ($0^\circ$) и востоком ($90^\circ$). Его азимут равен $45^\circ$.

4. Рассчитаем угол между ними. Угол можно найти, сложив угол от запада до севера и угол от севера до северо-востока.

• Угол между западом и севером составляет $90^\circ$.
• Угол между севером и северо-востоком составляет $45^\circ$.

Другой способ — найти разницу азимутов. Угол между направлением с азимутом $270^\circ$ и направлением с азимутом $45^\circ$ равен $360^\circ - 270^\circ + 45^\circ = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$. Мы берем меньший из двух возможных углов ($135^\circ$ и $225^\circ$).

Ответ: $135^\circ$.

6.6. На клетчатой бумаге изобразите углы, как показано на рисунке 6.5. Оцените “на глаз” их градусную величину. Проверьте ваши оценки, измерив углы с помощью транспортира.

а)

б)

Рис. 6.5

а)

Сначала оценим величину угла $ \angle CAB $ "на глаз". Угол острый, немного больше, чем $45^\circ$. Можно предположить, что его величина составляет около $50^\circ$.

Для проверки измерения воспользуемся методом, основанным на клеточной бумаге. Этот метод заменяет использование транспортира и дает точный результат. Введем систему координат с началом в точке A, направив ось Ox вправо, а ось Oy вверх. Пусть сторона одной клетки равна 1.

Тогда координаты точек будут: $ A(0, 0) $. Из точки А, чтобы попасть в точку на луче АВ, нужно сместиться на 3 клетки вправо и на 1 клетку вверх, поэтому вектору $ \vec{AB} $ соответствуют координаты $ (3, 1) $. Чтобы попасть в точку на луче АС, нужно сместиться на 1 клетку вправо и на 3 клетки вверх, поэтому вектору $ \vec{AC} $ соответствуют координаты $ (1, 3) $.

Мы можем найти угол $ \angle CAB $, используя скалярное произведение векторов $ \vec{AC} $ и $ \vec{AB} $.

Скалярное произведение векторов: $ \vec{AC} \cdot \vec{AB} = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 1 = 6 $.

Длины (модули) векторов: $ |\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} $. $ |\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} $.

Косинус угла $ \theta $ между векторами вычисляется по формуле: $ \cos(\theta) = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{AB}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{AB}|} = \frac{6}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{6}{10} = 0.6 $.

Теперь найдем сам угол: $ \theta = \arccos(0.6) \approx 53.13^\circ $.

Таким образом, точное значение угла, измеренное с помощью вычислений, составляет примерно $53.1^\circ$. Это значение достаточно близко к нашей первоначальной оценке. При измерении транспортиром также получится значение около $53^\circ$.

Ответ: Оценка "на глаз" - около $50^\circ$. Измеренное значение (проверенное расчетом) - $ \arccos(0.6) \approx 53.1^\circ $.

б)

Оценим величину угла $ \angle CAB $ "на глаз". Угол тупой, больше $90^\circ$. Он выглядит симметричным относительно вертикальной линии, проходящей через вершину A. Можно предположить, что его величина составляет ровно $135^\circ$ ($90^\circ + 45^\circ$).

Для точного измерения снова воспользуемся координатным методом. Введем систему координат с началом в точке A.

Координаты направляющих векторов лучей: из точки А, чтобы попасть в точку на луче АВ, нужно сместиться на 3 клетки вправо и на 1 клетку вверх, поэтому $ \vec{AB} $ имеет координаты $ (3, 1) $. Чтобы попасть в точку на луче АС, нужно сместиться на 2 клетки влево и на 1 клетку вверх, поэтому $ \vec{AC} $ имеет координаты $ (-2, 1) $.

Скалярное произведение векторов: $ \vec{AC} \cdot \vec{AB} = (-2) \cdot 3 + 1 \cdot 1 = -6 + 1 = -5 $.

Длины векторов: $ |\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} $. $ |\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} $.

Косинус угла $ \theta $ между векторами: $ \cos(\theta) = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{AB}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{AB}|} = \frac{-5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{-5}{\sqrt{50}} = \frac{-5}{5\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} $.

Угол, косинус которого равен $ -\frac{1}{\sqrt{2}} $ (или $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $), является табличным: $ \theta = \arccos(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = 135^\circ $.

В этом случае наша оценка "на глаз" оказалась абсолютно точной. Измерение транспортиром также подтвердит, что угол равен $135^\circ$.

Ответ: Оценка "на глаз" - $135^\circ$. Измеренное значение (проверенное расчетом) - $135^\circ$.

6.7. Луч $OC$ лежит внутри угла $AOB$, равного $60^\circ$. Найдите угол $AOC$, если он на $30^\circ$ больше угла $BOC$.

Для решения задачи воспользуемся основными свойствами углов. По условию, луч OC лежит внутри угла AOB, а это значит, что угол AOB равен сумме углов AOC и BOC.

Запишем данные из условия в виде математических соотношений:

1. $∠AOB = 60°$

2. $∠AOB = ∠AOC + ∠BOC$

3. $∠AOC = ∠BOC + 30°$

Для нахождения искомого угла AOC составим уравнение. Давайте обозначим величину угла BOC через $x$. Тогда, согласно условию, угол AOC будет равен $x + 30°$.

Подставим эти выражения во второе соотношение:

$∠AOC + ∠BOC = 60°$

$(x + 30°) + x = 60°$

Теперь решим это линейное уравнение относительно $x$:

$2x + 30° = 60°$

Вычтем 30° из обеих частей уравнения:

$2x = 60° - 30°$

$2x = 30°$

Разделим обе части на 2:

$x = \frac{30°}{2}$

$x = 15°$

Таким образом, мы нашли величину угла BOC: $∠BOC = 15°$.

Теперь мы можем найти величину угла AOC, которая нам и нужна:

$∠AOC = ∠BOC + 30° = 15° + 30° = 45°$

Ответ: $45°$

6.8. Луч $OC$ лежит внутри угла $AOB$, равного $45^\circ$. Найдите угол $AOC$, если он в два раза больше угла $BOC$.

Согласно условию задачи, луч OC проходит внутри угла AOB. Это означает, что угол AOB равен сумме углов AOC и BOC. Величина угла AOB дана и составляет $45^\circ$.

Математически это можно записать так:

$ \angle AOB = \angle AOC + \angle BOC $

$ 45^\circ = \angle AOC + \angle BOC $

Визуальное представление углов:

В условии также сказано, что угол AOC в два раза больше угла BOC. Введем переменную. Пусть величина угла BOC равна $x$. Тогда величина угла AOC будет равна $2x$.

$ \angle BOC = x $

$ \angle AOC = 2x $

Подставим эти выражения в наше основное равенство:

$ 45^\circ = 2x + x $

Теперь решим это простое линейное уравнение относительно $x$:

$ 3x = 45^\circ $

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$ x = \frac{45^\circ}{3} $

$ x = 15^\circ $

Таким образом, мы нашли величину угла BOC: $ \angle BOC = 15^\circ$.

По условию задачи нам нужно найти угол AOC. Мы знаем, что $ \angle AOC = 2x $.

$ \angle AOC = 2 \cdot 15^\circ = 30^\circ $

Для проверки можем сложить найденные углы: $ \angle AOC + \angle BOC = 30^\circ + 15^\circ = 45^\circ $, что совпадает с исходной величиной угла AOB. Решение верно.

Ответ: $30^\circ$

6.9. Луч $OC$ лежит внутри угла $AOB$, равного $120^\circ$. Найдите угол $AOC$, если он на $30^\circ$ меньше угла $BOC$.

По условию задачи, луч $OC$ лежит внутри угла $AOB$. Это означает, что угол $AOB$ равен сумме углов $AOC$ и $BOC$:
$\angle AOB = \angle AOC + \angle BOC$
Известно, что $\angle AOB = 120^\circ$. Следовательно:
$\angle AOC + \angle BOC = 120^\circ$

Обозначим величину искомого угла $AOC$ через $x$. Тогда $\angle AOC = x$.
По условию, угол $AOC$ на $30^\circ$ меньше угла $BOC$. Это можно записать как $\angle BOC = \angle AOC + 30^\circ$.
Подставив $x$, получаем: $\angle BOC = x + 30^\circ$.

Теперь подставим выражения для углов $AOC$ и $BOC$ в их основное соотношение:
$x + (x + 30^\circ) = 120^\circ$
Решим полученное линейное уравнение:
$2x + 30^\circ = 120^\circ$
$2x = 120^\circ - 30^\circ$
$2x = 90^\circ$
$x = \frac{90^\circ}{2}$
$x = 45^\circ$

Таким образом, мы нашли, что $\angle AOC = 45^\circ$.
Для проверки убедимся, что все условия задачи выполняются.Если $\angle AOC = 45^\circ$, то $\angle BOC = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ$.
Их сумма: $\angle AOC + \angle BOC = 45^\circ + 75^\circ = 120^\circ$, что равно углу $AOB$.
Их разница: $\angle BOC - \angle AOC = 75^\circ - 45^\circ = 30^\circ$, что также соответствует условию.
Следовательно, решение найдено верно.

Ответ: $45^\circ$.

6.10. Луч $OC$ лежит внутри угла $AOB$, равного $120^\circ$. Найдите угол $BOC$, если он в три раза больше угла $AOC$.

По условию задачи луч OC лежит внутри угла AOB. Это означает, что угол AOB составлен из двух углов: угла AOC и угла BOC. Таким образом, сумма их градусных мер равна градусной мере угла AOB.

Это можно записать в виде формулы:$∠AOC + ∠BOC = ∠AOB$

Из условия мы знаем, что $∠AOB = 120^\circ$. Также нам известно, что угол BOC в три раза больше угла AOC, то есть:$∠BOC = 3 \times ∠AOC$

Для решения задачи введем переменную. Пусть градусная мера угла AOC равна $x$.$∠AOC = x$

Тогда, исходя из условия, градусная мера угла BOC будет равна $3x$:$∠BOC = 3x$

Теперь подставим эти значения в формулу суммы углов:$x + 3x = 120^\circ$

Решим полученное уравнение, чтобы найти $x$:$4x = 120^\circ$$x = \frac{120^\circ}{4}$$x = 30^\circ$

Таким образом, мы нашли градусную меру угла AOC: $∠AOC = 30^\circ$.

Задача требует найти угол BOC. Подставим найденное значение $x$ в выражение для $∠BOC$:$∠BOC = 3x = 3 \times 30^\circ = 90^\circ$

Ответ: $90^\circ$.

6.11. Некоторый угол равен $38^\circ$. Чему равен смежный с ним угол?

6.12. Найдите градусные величины трех смежных углов, если один

По определению, смежные углы — это два угла, которые имеют общую вершину, одну общую сторону, а две другие их стороны лежат на одной прямой (являются продолжениями друг друга). Свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$.
Пусть данный угол равен $\alpha$, а смежный с ним угол, который нам нужно найти, равен $\beta$.
Согласно условию задачи, $\alpha = 38^\circ$.
Используя свойство смежных углов, мы можем записать уравнение:
$\alpha + \beta = 180^\circ$
Чтобы найти $\beta$, выразим его из этого уравнения:
$\beta = 180^\circ - \alpha$
Теперь подставим известное значение $\alpha$:
$\beta = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ$
Следовательно, смежный угол равен $142^\circ$.
Ответ: $142^\circ$.

6.12. Найдите градусные величины двух смежных углов, если один из них в два раза больше другого.

По определению, смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой (являются дополнительными лучами). Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.

Пусть градусная мера меньшего угла равна $x$.

Согласно условию задачи, один угол в два раза больше другого. Значит, градусная мера большего угла равна $2x$.

Так как сумма смежных углов составляет $180^\circ$, мы можем составить уравнение:

$x + 2x = 180^\circ$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$3x = 180^\circ$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 3:

$x = \frac{180^\circ}{3}$

$x = 60^\circ$

Таким образом, градусная мера меньшего угла составляет $60^\circ$.

Найдем градусную меру большего угла:

$2x = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$

Проверим наше решение:

1. Сумма углов: $60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$. Это соответствует свойству смежных углов.

2. Соотношение углов: $120^\circ$ ровно в два раза больше, чем $60^\circ$. Это соответствует условию задачи.

Следовательно, искомые градусные величины углов — $60^\circ$ и $120^\circ$.

Ответ: $60^\circ$ и $120^\circ$.

6.13. Найдите градусные величины двух смежных углов, если:

а) один из них на $30^\circ$ больше другого;

б) их разность равна $40^\circ$;

в) один из них в четыре раза меньше другого;

г) они равны.

Основное свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$. Обозначим градусные меры двух смежных углов как $\alpha$ и $\beta$. Таким образом, для всех подпунктов задачи будет справедливо равенство: $\alpha + \beta = 180^\circ$.

а) один из них на 30° больше другого
Пусть один угол равен $x$, тогда второй угол равен $x + 30^\circ$.
Составим уравнение, исходя из свойства смежных углов:
$x + (x + 30^\circ) = 180^\circ$
$2x + 30^\circ = 180^\circ$
$2x = 180^\circ - 30^\circ$
$2x = 150^\circ$
$x = 150^\circ / 2$
$x = 75^\circ$
Итак, один угол равен $75^\circ$.
Второй угол равен $x + 30^\circ = 75^\circ + 30^\circ = 105^\circ$.
Проверка: $75^\circ + 105^\circ = 180^\circ$.
Ответ: градусные величины углов равны $75^\circ$ и $105^\circ$.

б) их разность равна 40°
Пусть больший угол равен $\alpha$, а меньший — $\beta$.
Мы имеем систему из двух уравнений:
$\left\{ \begin{array}{l} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha - \beta = 40^\circ \end{array} \right.$
Сложим эти два уравнения:
$(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 180^\circ + 40^\circ$
$2\alpha = 220^\circ$
$\alpha = 220^\circ / 2$
$\alpha = 110^\circ$
Теперь найдем $\beta$, подставив значение $\alpha$ в первое уравнение:
$110^\circ + \beta = 180^\circ$
$\beta = 180^\circ - 110^\circ$
$\beta = 70^\circ$
Проверка: $110^\circ - 70^\circ = 40^\circ$.
Ответ: градусные величины углов равны $70^\circ$ и $110^\circ$.

в) один из них в четыре раза меньше другого
Пусть один угол равен $x$. Если он в четыре раза меньше другого, то другой угол равен $4x$.
Составим уравнение на основе их суммы:
$x + 4x = 180^\circ$
$5x = 180^\circ$
$x = 180^\circ / 5$
$x = 36^\circ$
Один угол равен $36^\circ$.
Второй угол равен $4x = 4 \cdot 36^\circ = 144^\circ$.
Проверка: $36^\circ + 144^\circ = 180^\circ$.
Ответ: градусные величины углов равны $36^\circ$ и $144^\circ$.

г) они равны
Пусть каждый из углов равен $x$.
Тогда их сумма равна:
$x + x = 180^\circ$
$2x = 180^\circ$
$x = 180^\circ / 2$
$x = 90^\circ$
Оба угла прямые.
Проверка: $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.
Ответ: градусные величины углов равны $90^\circ$ и $90^\circ$.

6.14. Найдите градусные величины двух смежных углов, если они относятся как:

а) $2:3$;

б) $3:7$;

в) $11:25$;

г) $22:23$.

Рис. 6.6

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Основное свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$. Для решения задачи в каждом пункте введем коэффициент пропорциональности $x$, который представляет одну часть в заданном отношении.

а) Пусть градусные меры смежных углов относятся как $2:3$. Обозначим одну часть как $x$. Тогда величины углов будут $2x$ и $3x$.
Составим уравнение, исходя из того, что сумма смежных углов равна $180^\circ$:
$2x + 3x = 180^\circ$
$5x = 180^\circ$
$x = \frac{180^\circ}{5}$
$x = 36^\circ$
Теперь найдем градусные меры каждого угла:
Первый угол: $2x = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$
Второй угол: $3x = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$
Проверка: $72^\circ + 108^\circ = 180^\circ$.
Ответ: $72^\circ$ и $108^\circ$.

б) Пусть градусные меры смежных углов относятся как $3:7$. Обозначим одну часть как $x$. Тогда величины углов будут $3x$ и $7x$.
Составим уравнение:
$3x + 7x = 180^\circ$
$10x = 180^\circ$
$x = \frac{180^\circ}{10}$
$x = 18^\circ$
Найдем градусные меры каждого угла:
Первый угол: $3x = 3 \cdot 18^\circ = 54^\circ$
Второй угол: $7x = 7 \cdot 18^\circ = 126^\circ$
Проверка: $54^\circ + 126^\circ = 180^\circ$.
Ответ: $54^\circ$ и $126^\circ$.

в) Пусть градусные меры смежных углов относятся как $11:25$. Обозначим одну часть как $x$. Тогда величины углов будут $11x$ и $25x$.
Составим уравнение:
$11x + 25x = 180^\circ$
$36x = 180^\circ$
$x = \frac{180^\circ}{36}$
$x = 5^\circ$
Найдем градусные меры каждого угла:
Первый угол: $11x = 11 \cdot 5^\circ = 55^\circ$
Второй угол: $25x = 25 \cdot 5^\circ = 125^\circ$
Проверка: $55^\circ + 125^\circ = 180^\circ$.
Ответ: $55^\circ$ и $125^\circ$.

г) Пусть градусные меры смежных углов относятся как $22:23$. Обозначим одну часть как $x$. Тогда величины углов будут $22x$ и $23x$.
Составим уравнение:
$22x + 23x = 180^\circ$
$45x = 180^\circ$
$x = \frac{180^\circ}{45}$
$x = 4^\circ$
Найдем градусные меры каждого угла:
Первый угол: $22x = 22 \cdot 4^\circ = 88^\circ$
Второй угол: $23x = 23 \cdot 4^\circ = 92^\circ$
Проверка: $88^\circ + 92^\circ = 180^\circ$.
Ответ: $88^\circ$ и $92^\circ$.