Страница 27 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Рис. 5.13

5.4. На клетчатой бумаге изобразите угол $AOB$ и луч $PQ$, как показано на рисунке 5.13. От луча $PQ$ отложите угол $QPR$, равный углу $AOB$.

5.5. Может ли угол между прямыми быть: а) прямым; б) тупым?

Чтобы на клетчатой бумаге от луча $PQ$ отложить угол $QPR$, равный углу $AOB$, необходимо проанализировать расположение лучей угла $AOB$ относительно линий сетки и воспроизвести его для угла $QPR$.

1. Анализируем исходный угол $AOB$.
Вершина $O$ угла $AOB$ находится в узле сетки (в точке пересечения линий).
Луч $OA$ лежит на горизонтальной линии сетки.
Луч $OB$ проходит через узел сетки, который можно найти, сместившись от точки $O$ на 2 клетки вправо и на 2 клетки вверх.

2. Строим искомый угол $QPR$.
Вершина $P$ нового угла совпадает с вершиной луча $PQ$ и находится в узле сетки.
Луч $PQ$ лежит на вертикальной линии сетки. Он получен поворотом горизонтального луча (как $OA$) на $90^\circ$ против часовой стрелки.
Чтобы построить равный угол, мы должны применить такое же преобразование к "рецепту" построения второго луча. Исходный рецепт для луча $OB$ был "2 клетки вправо, 2 клетки вверх".
Поворачиваем это смещение на $90^\circ$ против часовой стрелки:

• "Движение вправо" становится "движением вверх".
• "Движение вверх" становится "движением влево".

3. Выполняем построение.
От точки $P$ отсчитываем 2 клетки влево и 2 клетки вверх. Ставим в этом узле сетки точку $R$.
Проводим луч $PR$. Полученный угол $QPR$ будет равен углу $AOB$.

Результат построения показан на рисунке:

Ответ: Построение угла $QPR$, равного углу $AOB$, показано на рисунке выше.

5.5. Может ли угол между прямыми быть:

а) прямым;

б) тупым?

Для ответа на этот вопрос необходимо вспомнить определение угла между двумя прямыми.

Углом между двумя пересекающимися прямыми называется величина наименьшего из углов, образованных при их пересечении. Если все углы, образованные при пересечении, равны (по $90^\circ$), то угол между прямыми равен $90^\circ$. Таким образом, по определению, угол между двумя прямыми $\alpha$ всегда находится в пределах $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$. (Если прямые параллельны или совпадают, угол между ними равен $0^\circ$).

Да, угол между двумя прямыми может быть прямым. Прямой угол имеет величину $90^\circ$. Это происходит, когда прямые взаимно перпендикулярны. При пересечении перпендикулярных прямых образуются четыре равных угла, каждый из которых равен $90^\circ$. В этом случае наименьший из углов (как и все остальные) равен $90^\circ$.

Ответ: да, может.

Нет, угол между двумя прямыми не может быть тупым. Тупым называется угол, величина которого больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$.

Когда две прямые пересекаются, они образуют две пары смежных углов. Пусть один из них будет $\alpha$, а смежный с ним — $\beta$. Их сумма всегда равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Если предположить, что один из углов, например $\beta$, тупой (то есть $\beta > 90^\circ$), то смежный с ним угол $\alpha$ будет равен $\alpha = 180^\circ - \beta$. Так как $\beta > 90^\circ$, то $\alpha$ будет меньше $90^\circ$, то есть острым.

По определению, углом между прямыми является наименьший из образовавшихся углов. В нашем случае, так как $\alpha < 90^\circ$ и $\beta > 90^\circ$, наименьшим будет угол $\alpha$. Следовательно, угол между прямыми будет острым.

Таким образом, угол между прямыми по определению не может быть больше $90^\circ$, а значит, не может быть тупым.

На рисунке показаны острый угол $\alpha$ (в данном случае $70^\circ$) и тупой угол $\beta$ ($110^\circ$). Углом между прямыми считается меньший из них, то есть $\alpha$.

Ответ: нет, не может.

5.6. Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равен $30^\circ$. Чему равны остальные углы?

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Эти углы попарно являются либо вертикальными, либо смежными.

Пусть нам дан один из углов, $∠1 = 30°$.

Угол, который находится напротив него ($∠3$ на рисунке), является вертикальным углом. По свойству вертикальных углов, они равны. Следовательно, один из остальных углов также равен $30°$.

$∠3 = ∠1 = 30°$

Углы, которые находятся рядом с данным углом ($∠2$ и $∠4$ на рисунке), являются смежными с ним. Сумма смежных углов равна $180°$. Найдем величину угла $∠2$, который смежен с $∠1$.

$∠1 + ∠2 = 180°$

Подставим известное значение $∠1$:

$30° + ∠2 = 180°$

$∠2 = 180° - 30°$

$∠2 = 150°$

Угол $∠4$ является вертикальным к углу $∠2$, поэтому он также равен $150°$. Кроме того, $∠4$ является смежным с $∠1$, поэтому его также можно найти как $180° - 30° = 150°$.

Таким образом, мы нашли все три остальных угла. Два из них равны по $150°$, и один равен $30°$.

Ответ: Остальные углы равны $30°$, $150°$ и $150°$.

5.7. Сколько углов, больше развернутого, образуются лучами, изображенными на рисунке 5.14?

Рис. 5.14

Развернутый угол — это угол, равный $180^\circ$. Угол, больше развернутого, — это угол, градусная мера которого больше $180^\circ$ (но меньше $360^\circ$). На рисунке изображены четыре луча, выходящие из одной точки O: OA, OB, OC и OD. Любая пара этих лучей образует два угла, которые в сумме дают полный угол $360^\circ$. Один из этих углов (внутренний) меньше или равен $180^\circ$, а другой (внешний) — больше или равен $180^\circ$. Вопрос задачи заключается в том, чтобы найти количество углов, которые строго больше $180^\circ$. Из рисунка видно, что никакие два луча не являются противоположно направленными, то есть не образуют развернутый угол в $180^\circ$. Это означает, что для каждой пары лучей один из образуемых углов будет строго меньше $180^\circ$, а другой — строго больше $180^\circ$. Следовательно, задача сводится к подсчету количества пар лучей, которые можно образовать из четырех имеющихся. Это задача на нахождение числа сочетаний из 4 элементов по 2. Число сочетаний вычисляется по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество элементов в группе. В нашем случае $n=4$ (лучи OA, OB, OC, OD), а $k=2$ (для образования угла нужны два луча). Вычисляем: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$. Таким образом, можно образовать 6 пар лучей, и каждая из них формирует один угол, больший развернутого. Этими парами являются (OA, OB), (OA, OC), (OA, OD), (OB, OC), (OB, OD) и (OC, OD). Ответ: 6.

5.8. Сколько:

а) острых;

б) прямых;

в) тупых углов образуется лучами, изображенными на рисунке 5.14?

Рис. 5.14

На рисунке изображены четыре луча (OA, OB, OC и OD), исходящие из общей вершины O. Они образуют 6 различных углов: ∠AOB, ∠AOC, ∠AOD, ∠BOC, ∠BOD, ∠COD. Для решения задачи определим вид каждого из этих углов (острый, прямой или тупой), основываясь на их визуальном представлении на рисунке.

а) острых; Острым называется угол, величина которого меньше $90^\circ$. На рисунке можно выделить следующие острые углы:
1. ∠AOB: он является частью угла ∠AOC, который выглядит как прямой, следовательно, ∠AOB < $90^\circ$.
2. ∠BOC: он также является частью прямого угла ∠AOC, поэтому ∠BOC < $90^\circ$.
3. ∠COD: визуально этот угол меньше прямого, значит, он острый.
Таким образом, на рисунке 3 острых угла.
Ответ: 3.

б) прямых; Прямой угол равен ровно $90^\circ$. На рисунке лучи OA и OC выглядят перпендикулярными, поэтому можно считать, что угол ∠AOC является прямым. Других прямых углов на рисунке нет.
Ответ: 1.

в) тупых; Тупым называется угол, который больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. На рисунке можно найти два тупых угла:
1. ∠AOD: он равен сумме прямого угла ∠AOC и острого угла ∠COD (∠AOD = $90^\circ$ + ∠COD), что очевидно больше $90^\circ$.
2. ∠BOD: он состоит из суммы двух острых углов ∠BOC и ∠COD. Визуально этот угол выглядит больше прямого угла ∠AOC, следовательно, он также является тупым.
Всего получается 2 тупых угла.
Ответ: 2.

изображенными на рисунке 3.11:

5.9. Могут ли два смежных угла быть одновременно:

а) острыми;

б) прямыми;

в) тупыми?

По определению, смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются продолжениями друг друга (лежат на одной прямой). Важнейшее свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$.

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — два смежных угла. Тогда $\alpha + \beta = 180^\circ$. Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

а) острыми
Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$. Если предположить, что оба угла острые, то $\alpha < 90^\circ$ и $\beta < 90^\circ$. Сложив эти два неравенства, получим: $\alpha + \beta < 90^\circ + 90^\circ$, что означает $\alpha + \beta < 180^\circ$. Это противоречит свойству смежных углов, по которому их сумма должна быть ровно $180^\circ$. Следовательно, два смежных угла не могут быть одновременно острыми.
Ответ: нет, не могут.

б) прямыми
Прямой угол равен $90^\circ$. Если оба угла прямые, то $\alpha = 90^\circ$ и $\beta = 90^\circ$. Их сумма будет равна $\alpha + \beta = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это полностью соответствует свойству смежных углов. Такой случай возможен, например, при пересечении двух перпендикулярных прямых.
Ответ: да, могут.

в) тупыми
Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$. Если предположить, что оба угла тупые, то $\alpha > 90^\circ$ и $\beta > 90^\circ$. Сложив эти неравенства, получим: $\alpha + \beta > 90^\circ + 90^\circ$, что означает $\alpha + \beta > 180^\circ$. Это также противоречит свойству смежных углов, сумма которых равна $180^\circ$. Следовательно, два смежных угла не могут быть одновременно тупыми.
Ответ: нет, не могут.

5.10. На клетчатой бумаге нарисуйте угол $AOB$, аналогично данному на рисунке 5.15. Изобразите биссектрису $OC$ этого угла.

Рис. 5.15

a)

б)

Рис. 5.15

а) Угол $AOB$ на рисунке а) является прямым углом, его градусная мера равна $90^\circ$. Биссектриса $OC$ делит этот угол на два равных угла: $\angle AOC = \angle COB = 90^\circ / 2 = 45^\circ$.

Чтобы построить биссектрису на клетчатой бумаге, мы проводим луч из вершины угла $O$, который является диагональю клеток сетки. Каждая точка на этом луче будет равноудалена от сторон угла $OA$ и $OB$.

На рисунке ниже показан угол $AOB$ и его биссектриса $OC$.

Ответ: Биссектриса прямого угла, стороны которого идут по линиям сетки, проходит по диагоналям клеток.

б) Для построения биссектрисы произвольного угла, заданного на клетчатой бумаге, можно использовать метод, основанный на свойстве биссектрисы как оси симметрии угла. Точки биссектрисы равноудалены от сторон угла.

Проанализируем угол $AOB$ на рисунке б). Пусть вершина $O$ находится в начале координат $(0,0)$.

• Луч $OA$ проходит через точку, смещенную на 1 клетку влево и 2 клетки вниз. Вектор направления $\vec{OA}$ можно записать как $(-1, -2)$.
• Луч $OB$ проходит через точку, смещенную на 3 клетки вправо и 1 клетку вниз. Вектор направления $\vec{OB}$ можно записать как $(3, -1)$.

В общем случае биссектриса такого угла не обязательно проходит через узлы сетки. Чтобы построить биссектрису, можно найти на лучах $OA$ и $OB$ точки, равноудаленные от вершины $O$, и построить ромб. Диагональ ромба, выходящая из вершины $O$, и будет биссектрисой.

Длина отрезка $OA$ по клеткам: $d_{OA} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$ клеток.Длина отрезка $OB$ по клеткам: $d_{OB} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}$ клеток.

Поскольку $d_{OA} \ne d_{OB}$, нам нужно выбрать другие точки. Можно заметить, что на луче $OA$ есть точка $A'$ со смещением $(-2, -4)$, расстояние до которой $d_{OA'} = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{20}$. А на луче $OB$ есть точка $B'$ со смещением $(6, -2)$, расстояние до которой $d_{OB'} = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{40}$. Найти точки на узлах сетки с равными расстояниями невозможно.

Однако можно найти хороший приближенный вариант. Угол между лучом $OA$ и вертикалью равен $\arctan(1/2)$, а угол между лучом $OB$ и вертикалью равен $\arctan(3/1)$. Расчеты показывают, что точная биссектриса не проходит через узлы сетки. Хорошим приближением будет луч, проходящий из точки $O$ через точку $C$, смещенную на 2 клетки вправо и 5 клеток вниз.

На рисунке ниже показано построение приближенной биссектрисы $OC$ (синий пунктирный луч).

Ответ: Показана приближенная биссектриса. Для точного построения на бумаге можно использовать метод построения ромба: циркулем отложить от вершины $O$ на лучах $OA$ и $OB$ равные отрезки $OA'$ и $OB'$, а затем найти середину отрезка $A'B'$. Луч, проведенный из $O$ через эту середину, будет биссектрисой.