Страница 23 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

4.17. На сколько частей разбивают плоскость $n$ прямых, пересекающихся в одной точке?

Для решения этой задачи рассмотрим несколько простых случаев, чтобы выявить закономерность. Пусть $L(n)$ — это количество частей, на которые $n$ прямых, пересекающихся в одной точке, делят плоскость.

При $n=1$: одна прямая делит плоскость на 2 части. Таким образом, $L(1)=2$.

При $n=2$: две пересекающиеся прямые делят плоскость на 4 части (четыре угла). Таким образом, $L(2)=4$.

При $n=3$: три прямые, пересекающиеся в одной точке, делят плоскость на 6 частей. Таким образом, $L(3)=6$.

Из рассмотренных случаев видна закономерность: количество частей вдвое больше количества прямых. Можно выдвинуть гипотезу, что $L(n) = 2n$.

Докажем эту гипотезу методом математической индукции.

База индукции: При $n=1$ одна прямая делит плоскость на 2 части, и наша формула дает $L(1)=2 \times 1 = 2$. Утверждение верно.

Индукционное предположение: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть $k$ прямых, пересекающихся в одной точке, делят плоскость на $L(k)=2k$ частей.

Индукционный шаг: Докажем, что утверждение верно для $k+1$ прямых. Возьмем систему из $k$ прямых, которые по предположению делят плоскость на $2k$ частей. Эти части являются угловыми секторами с вершиной в общей точке пересечения. Проведем $(k+1)$-ю прямую через эту же точку. Эта новая прямая, проходя через общую точку, пересечет две из уже существующих областей (а именно, два вертикальных угла) и разделит каждую из них на две новые. Таким образом, общее количество частей увеличится на 2.

Следовательно, новое количество частей будет $L(k+1) = L(k) + 2$. Используя индукционное предположение $L(k)=2k$, мы получаем: $L(k+1) = 2k + 2 = 2(k+1)$. Формула верна и для $k+1$.

По принципу математической индукции, мы доказали, что $n$ прямых, пересекающихся в одной точке, разбивают плоскость на $2n$ частей.

Ответ: $2n$.

4.18. На прямой отмечены:

а) 2 точки;

б) 3 точки;

в) 4 точки;

г) $n$ точек.

Сколько получилось развернутых углов с вершинами в этих точках?

Развернутый угол — это угол, стороны которого являются двумя лучами, лежащими на одной прямой и исходящими из одной точки (вершины угла). Такой угол равен $180^\circ$. Когда на прямой отмечают точки, каждая из этих точек может служить вершиной развернутого угла. Лучами этого угла будут две части прямой, расходящиеся от этой точки в противоположные стороны. Следовательно, количество развернутых углов равно количеству отмеченных на прямой точек.

а) На прямой отмечены 2 точки. Каждая из них является вершиной одного развернутого угла. Таким образом, мы имеем 2 развернутых угла с вершинами в точках A и B.
Ответ: 2.

б) На прямой отмечены 3 точки. Каждая из этих трех точек может быть вершиной развернутого угла. Следовательно, получается 3 развернутых угла.
Ответ: 3.

в) На прямой отмечены 4 точки. По аналогии с предыдущими пунктами, каждая из четырех точек является вершиной развернутого угла. Значит, получается 4 развернутых угла.
Ответ: 4.

г) * На прямой отмечено $n$ точек. Обобщая закономерность, можно заключить, что каждая из $n$ точек является вершиной одного развернутого угла. Таким образом, общее количество развернутых углов равно количеству отмеченных точек.
Ответ: $n$.

4.19. На сколько частей делят плоскость:

а) два луча с общей вершиной;

б) три луча с общей вершиной;

в) четыре луча с общей вершиной;

г) $n$ лучей с общей вершиной?

а) два луча с общей вершиной

Два различных луча, исходящие из одной точки (вершины), образуют угол. Эти лучи делят всю плоскость на две части: внутреннюю область угла и внешнюю по отношению к ней область. Это можно представить наглядно.

Даже если лучи являются противоположными и образуют прямую, прямая также делит плоскость на две части (две полуплоскости). Таким образом, в общем случае два луча делят плоскость на две части.

Ответ: на 2 части.

б) три луча с общей вершиной

Рассмотрим три различных луча, выходящих из одной вершины. Первые два луча делят плоскость на 2 части. Третий луч, исходя из той же вершины, пройдет внутри одной из этих двух частей и разделит ее на две новые. В результате общее количество частей увеличится на одну: $2 + 1 = 3$. Три луча образуют три угла с общей вершиной, которые вместе занимают всю плоскость.

Таким образом, три луча с общей вершиной делят плоскость на три части.

Ответ: на 3 части.

в) четыре луча с общей вершиной

Аналогично предыдущему пункту, если у нас есть три луча, делящие плоскость на 3 части, то четвертый луч разделит одну из этих частей надвое. Общее количество частей станет $3 + 1 = 4$.

Следовательно, четыре различных луча с общей вершиной делят плоскость на четыре части.

Ответ: на 4 части.

г) *n лучей с общей вершиной

Обобщим полученные результаты. Мы видим закономерность: количество частей, на которые делится плоскость, равно количеству лучей. Докажем, что $n$ различных лучей с общей вершиной делят плоскость на $n$ частей.

Воспользуемся методом математической индукции.
База индукции: При $n=1$, один луч не делит плоскость, оставляя 1 часть. Утверждение верно. При $n=2$ два луча делят плоскость на 2 части. Утверждение также верно.
Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для $k$ лучей, то есть $k$ лучей делят плоскость на $k$ частей (угловых секторов). Рассмотрим $k+1$ лучей. Первые $k$ лучей по нашему предположению делят плоскость на $k$ частей. $(k+1)$-й луч, исходящий из той же вершины, должен попасть в один из этих $k$ секторов. Проходя через этот сектор, он разделит его на два новых. Остальные $k-1$ секторов останутся без изменений. Таким образом, общее количество частей станет $(k-1) + 2 = k+1$.
Так как утверждение верно для базы индукции и индукционный переход доказан, то утверждение верно для любого натурального числа $n$.

Это справедливо при условии, что все $n$ лучей различны (не совпадают).

Ответ: на $n$ частей.

4.20. На сколько частей разбивают плоскость $n$ попарно пересекающихся прямых, три из которых не пересекаются в одной точке?

Для решения этой задачи найдем рекуррентное соотношение, которое описывает, как изменяется количество частей плоскости при добавлении каждой новой прямой. Обозначим искомое количество частей через $L_n$. Условия задачи — все прямые попарно пересекаются и никакие три не пересекаются в одной точке — означают, что прямые находятся в "общем положении".

Рассмотрим, как растет число частей плоскости с увеличением числа прямых $n$.

При $n=0$, у нас нет прямых, и вся плоскость является одной частью. Итак, $L_0 = 1$.

При $n=1$, одна прямая делит плоскость на 2 части. $L_1 = 2$. Прирост составил 1 часть.

При $n=2$, вторая прямая пересекает первую (так как они не параллельны). Эта вторая прямая проходит через 2 уже существующие области, разделяя каждую из них на две. Следовательно, общее количество частей увеличивается на 2.
$L_2 = L_1 + 2 = 2 + 2 = 4$.

При $n=3$, третья прямая пересекает две предыдущие в двух разных точках (по условию, три прямые не могут пересечься в одной точке). Эти две точки делят третью прямую на 3 части (один отрезок и два луча). Каждая из этих трех частей делит одну из существующих областей на две, таким образом добавляя 3 новые области.
$L_3 = L_2 + 3 = 4 + 3 = 7$.

Можно заметить общую закономерность. Пусть на плоскости уже проведено $n-1$ прямых, которые делят ее на $L_{n-1}$ частей. Когда мы проводим $n$-ю прямую, она, по условию, пересекает каждую из предыдущих $n-1$ прямых в $n-1$ различной точке. Эти $n-1$ точек пересечения разделяют $n$-ю прямую на $n$ интервалов (два из которых — лучи, уходящие в бесконечность). Каждый из этих $n$ интервалов проходит через одну из ранее существовавших частей плоскости и делит ее на две, тем самым добавляя одну новую часть. Следовательно, добавление $n$-й прямой увеличивает общее число частей на $n$.
Это дает нам рекуррентное соотношение: $L_n = L_{n-1} + n$.

Теперь найдем явную формулу для $L_n$, используя полученное соотношение и начальное условие $L_0=1$:
$L_n = L_{n-1} + n = (L_{n-2} + n-1) + n = \dots = L_0 + 1 + 2 + 3 + \dots + n$.
Сумма первых $n$ натуральных чисел вычисляется по формуле суммы арифметической прогрессии:
$S_n = 1 + 2 + \dots + n = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$.
Подставляя это значение в выражение для $L_n$, получаем:
$L_n = 1 + \frac{n(n+1)}{2}$.
Формулу можно также представить в виде многочлена:
$L_n = \frac{2}{2} + \frac{n^2+n}{2} = \frac{n^2+n+2}{2}$.

Ответ: $n$ попарно пересекающихся прямых, три из которых не пересекаются в одной точке, разбивают плоскость на $1 + \frac{n(n+1)}{2}$ (или $\frac{n^2+n+2}{2}$) частей.

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

4.21. Нарисуйте луч OA. С помощью транспортира отложите от него в одном направлении угол $\angle AOB$, величиной $60^\circ$, и угол $\angle BOC$, величиной $30^\circ$. Какую величину имеет угол $\angle AOC$?

Для решения задачи необходимо выполнить последовательные геометрические построения. Сначала мы рисуем луч ОА. Затем от этого луча откладываем угол АОВ, величина которого составляет $60^\circ$. После этого, от нового луча ОВ мы откладываем следующий угол BOC, равный $30^\circ$. Важным моментом в условии является указание «в одном направлении». Это означает, что луч ОВ будет располагаться между лучами ОА и ОС, а угол AOC будет суммой двух построенных углов.

Визуально это можно представить следующим образом:

Согласно аксиоме измерения углов, если луч делит угол на два угла, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих двух углов. В нашем случае луч ОВ делит угол АОС на два угла: АОВ и ВОС.

Таким образом, для нахождения величины угла AOC необходимо сложить величины углов AOB и BOC:

$\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC$

Подставим известные значения в формулу:

$\angle AOC = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$

Следовательно, угол AOC является прямым углом.

Ответ: $90^\circ$.