Страница 18 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

3.10. Могут ли точки A, B, C принадлежать одной прямой, если длина большего отрезка $AB$ меньше суммы длин отрезков $AC$ и $BC$?

Рассмотрим, какое условие должно выполняться, чтобы три точки A, B и C лежали на одной прямой. Если три точки лежат на одной прямой, то одна из них обязательно находится между двумя другими.

По условию задачи, AB — больший отрезок. Если точки A, B и C лежат на одной прямой, то это означает, что точки A и B являются крайними, а точка C лежит между ними. Другие варианты расположения (А между В и С, или В между А и С) невозможны, так как в этих случаях отрезок AB не был бы большим.

Для такого расположения точек на прямой, согласно свойству сложения отрезков, длина всего отрезка AB должна быть в точности равна сумме длин его частей — отрезков AC и BC. Это выражается равенством:

$AB = AC + BC$

Однако в условии задачи дано другое соотношение — строгое неравенство:

$AB < AC + BC$

Это неравенство известно как неравенство треугольника. Оно является необходимым и достаточным условием того, что точки A, B и C образуют вершины треугольника, то есть не лежат на одной прямой.

Поскольку условие для расположения точек на одной прямой ($AB = AC + BC$) прямо противоречит условию, данному в задаче ($AB < AC + BC$), можно сделать вывод, что точки A, B и C не могут принадлежать одной прямой.

Ответ: Нет, не могут.

3.11. На прямой отложены отрезки $AB = 10$ см, $BC = 5$ см. Найдите $AC$, если:

а) точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$;

б) точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$?

а) точка B лежит между точками А и С

В этом случае точки расположены на прямой в следующем порядке: A, B, C. Это означает, что отрезок AC состоит из двух отрезков: AB и BC. Чтобы найти длину всего отрезка AC, нужно сложить длины его частей.

Основное свойство длины отрезка в данном случае выражается формулой:

$AC = AB + BC$

Подставим в формулу данные из условия задачи ($AB = 10$ см, $BC = 5$ см):

$AC = 10 \text{ см} + 5 \text{ см} = 15 \text{ см}$

Ответ: 15 см.

б) точка C лежит между точками А и В

В этом случае точки расположены на прямой в следующем порядке: A, C, B. Это означает, что отрезок AB является целым, а отрезки AC и CB — его частями. Чтобы найти длину части AC, нужно из длины всего отрезка AB вычесть длину другой его части, CB (или BC).

Связь между длинами отрезков выражается формулой: $AB = AC + CB$. Из этой формулы мы можем выразить искомую длину AC:

$AC = AB - CB$

Подставим в формулу известные значения ($AB = 10$ см, $CB = 5$ см):

$AC = 10 \text{ см} - 5 \text{ см} = 5 \text{ см}$

Ответ: 5 см.

3.12. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ и делятся в ней пополам. Известно, что $AO = 2 CO$. Сравните отрезки $AB$ и $CD$.

По условию задачи отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Это означает, что точка $O$ является серединой для каждого из этих отрезков.

Из того, что $O$ — середина отрезка $AB$, следует, что длина всего отрезка $AB$ равна удвоенной длине его половины $AO$:
$AB = 2 \cdot AO$

Аналогично, из того, что $O$ — середина отрезка $CD$, следует, что длина всего отрезка $CD$ равна удвоенной длине его половины $CO$:
$CD = 2 \cdot CO$

В задаче также дано соотношение между длинами половин отрезков:
$AO = 2 \cdot CO$

Теперь мы можем выразить длину отрезка $AB$ через длину отрезка $CO$, подставив известное соотношение в выражение для длины $AB$:
$AB = 2 \cdot AO = 2 \cdot (2 \cdot CO) = 4 \cdot CO$

Итак, мы имеем выражения для длин обоих отрезков через одну и ту же величину $CO$:
$AB = 4 \cdot CO$
$CD = 2 \cdot CO$

Для сравнения длин отрезков $AB$ и $CD$, найдем их отношение:
$\frac{AB}{CD} = \frac{4 \cdot CO}{2 \cdot CO} = 2$

Из этого следует, что $AB = 2 \cdot CD$. Таким образом, отрезок $AB$ в два раза длиннее отрезка $CD$.

Ответ: Отрезок AB в два раза длиннее отрезка CD ($AB = 2 \cdot CD$).

3.13. Сумма двух отрезков равна 6 см, их разность – 2 см. Найдите сами отрезки.

Пусть длина одного отрезка равна $x$ см, а длина другого отрезка — $y$ см.

Исходя из условий задачи, мы можем составить систему из двух линейных уравнений:

1. Сумма длин отрезков равна 6 см: $x + y = 6$

2. Разность длин отрезков равна 2 см: $x - y = 2$

Таким образом, мы получаем систему:$\begin{cases}x + y = 6 \\x - y = 2\end{cases}$

Для решения этой системы можно сложить два уравнения. Это позволит нам исключить переменную $y$:

$(x + y) + (x - y) = 6 + 2$

$2x = 8$

$x = \frac{8}{2}$

$x = 4$

Итак, длина первого отрезка составляет 4 см. Теперь найдем длину второго отрезка, подставив значение $x$ в любое из исходных уравнений. Возьмем первое уравнение:

$4 + y = 6$

$y = 6 - 4$

$y = 2$

Следовательно, длина второго отрезка составляет 2 см.

Проверим наше решение:

Сумма: $4 \text{ см} + 2 \text{ см} = 6 \text{ см}$.

Разность: $4 \text{ см} - 2 \text{ см} = 2 \text{ см}$.

Оба условия задачи выполняются.

Ответ: длины отрезков равны 4 см и 2 см.

3.14. На отрезке $AB$ длиной 15 м отмечена точка $C$. Найдите длины отрезков $AC$ и $BC$, если:

а) отрезок $AC$ на 3 м длиннее отрезка $BC$;

б) отрезок $AC$ в два раза длиннее отрезка $BC$;

в) длины отрезков $AC$ и $BC$ относятся как 2:3.

Поскольку точка С отмечена на отрезке АВ, то сумма длин отрезков АС и ВС равна длине отрезка АВ, то есть $AC + BC = 15$ м. Рассмотрим каждый случай.

а) отрезок АС на 3 м длиннее отрезка ВС

Пусть длина отрезка ВС равна $x$ м. Тогда, согласно условию, длина отрезка АС будет $(x + 3)$ м.

Составим уравнение, используя равенство $AC + BC = 15$:

$(x + 3) + x = 15$

$2x + 3 = 15$

$2x = 15 - 3$

$2x = 12$

$x = \frac{12}{2} = 6$

Таким образом, длина отрезка ВС равна 6 м.

Длина отрезка АС равна $x + 3 = 6 + 3 = 9$ м.

Проверка: $9 \text{ м} + 6 \text{ м} = 15 \text{ м}$.

Ответ: $AC = 9$ м, $BC = 6$ м.

б) отрезок АС в два раза длиннее отрезка ВС

Пусть длина отрезка ВС равна $y$ м. Тогда, по условию, длина отрезка АС будет $2y$ м.

Составим уравнение:

$2y + y = 15$

$3y = 15$

$y = \frac{15}{3} = 5$

Следовательно, длина отрезка ВС равна 5 м.

Длина отрезка АС равна $2y = 2 \cdot 5 = 10$ м.

Проверка: $10 \text{ м} + 5 \text{ м} = 15 \text{ м}$.

Ответ: $AC = 10$ м, $BC = 5$ м.

в) длины отрезков АС и ВС относятся как 2:3

Условие $AC : BC = 2:3$ означает, что отрезок АС состоит из 2 частей, а отрезок ВС из 3 таких же частей. Весь отрезок АВ состоит из $2 + 3 = 5$ равных частей.

Найдем, чему равна длина одной части:

$15 \text{ м} \div 5 \text{ частей} = 3$ м/часть.

Теперь найдем длины отрезков АС и ВС.

Длина отрезка АС (2 части): $2 \cdot 3 = 6$ м.

Длина отрезка ВС (3 части): $3 \cdot 3 = 9$ м.

Проверка: $6 \text{ м} + 9 \text{ м} = 15 \text{ м}$. Отношение $6:9$ сокращается до $2:3$.

Ответ: $AC = 6$ м, $BC = 9$ м.

3.15. На прямой последовательно отложены три отрезка: $AB$, $BC$ и $CD$ так, что $AB = 3 \text{ см}$, $BC = 5 \text{ см}$, $CD = 4 \text{ см}$. Найдите расстояние между серединами отрезков $AB$ и $CD$.

Согласно условию задачи, на прямой последовательно расположены точки A, B, C и D. Даны длины отрезков, которые они образуют: $AB = 3$ см, $BC = 5$ см, $CD = 4$ см.

Для наглядности изобразим эти отрезки на прямой:

Необходимо найти расстояние между серединами отрезков AB и CD. Обозначим середину отрезка AB точкой M, а середину отрезка CD — точкой N.

Точка M, будучи серединой отрезка AB, делит его пополам. Следовательно, расстояние от точки B до точки M (отрезок MB) равно половине длины отрезка AB.

$MB = \frac{AB}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$ см.

Аналогично, точка N является серединой отрезка CD, поэтому расстояние от точки C до точки N (отрезок CN) равно половине длины отрезка CD.

$CN = \frac{CD}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Искомое расстояние между точками M и N равно длине отрезка MN. Так как точки расположены на прямой в последовательности A, M, B, C, N, D, то длина отрезка MN складывается из длин отрезков MB, BC и CN.

$MN = MB + BC + CN$

Подставляем вычисленные и данные значения в формулу:

$MN = 1,5 \text{ см} + 5 \text{ см} + 2 \text{ см} = 8,5 \text{ см}$.

Ответ: 8,5 см.

3.16. От точки A, взятой на некоторой прямой, отложены в одном направлении два отрезка AB и AC, причем $AB = 60 \text{ мм}$, $AC = 100 \text{ мм}$. Найдите:

а) длину отрезка BC;

б) расстояние от точки A до середины отрезка BC;

в) расстояние между серединами отрезков AB и AC.

Поскольку отрезки AB и AC отложены от точки A в одном направлении и длина отрезка AC больше длины отрезка AB ($100 \text{ мм} > 60 \text{ мм}$), то точка B лежит между точками A и C. Визуально это можно представить так:

а) Длина отрезка BC равна разности длин отрезков AC и AB, так как отрезок AC состоит из двух частей: AB и BC. Вычисляем: $BC = AC - AB = 100 \text{ мм} - 60 \text{ мм} = 40 \text{ мм}$. Ответ: 40 мм.

б) Пусть M — середина отрезка BC. Длина отрезка BM равна половине длины отрезка BC: $BM = \frac{BC}{2} = \frac{40 \text{ мм}}{2} = 20 \text{ мм}$. Расстояние от точки A до точки M складывается из длин отрезков AB и BM: $AM = AB + BM = 60 \text{ мм} + 20 \text{ мм} = 80 \text{ мм}$. Ответ: 80 мм.

в) Пусть P — середина отрезка AB, а Q — середина отрезка AC. Расстояние от точки A до точки P равно: $AP = \frac{AB}{2} = \frac{60 \text{ мм}}{2} = 30 \text{ мм}$. Расстояние от точки A до точки Q равно: $AQ = \frac{AC}{2} = \frac{100 \text{ мм}}{2} = 50 \text{ мм}$. Расстояние между серединами P и Q — это разность расстояний от точки A до этих середин: $PQ = AQ - AP = 50 \text{ мм} - 30 \text{ мм} = 20 \text{ мм}$. Ответ: 20 мм.

3.17. Три деревни A, B, C расположены вдоль прямой дороги. Расстояние между деревнями A и B равно 2 км, между A и C — 5 км. Чему равно расстояние между деревнями B и C? Сколько решений имеет задача?

Поскольку в условии задачи не указано, в каком порядке расположены деревни A, B и C на прямой дороге, необходимо рассмотреть все возможные случаи их взаимного расположения. Это приводит к тому, что задача имеет несколько решений.

Пусть расстояние между деревнями A и B равно $d(A, B) = 2$ км, а расстояние между A и C равно $d(A, C) = 5$ км. Нам нужно найти расстояние между B и C, то есть $d(B, C)$.

Вариант 1: Деревня B находится между деревнями A и C.

В этом случае порядок расположения деревень на дороге следующий: A – B – C (или симметричный ему C – B – A).

Из схемы видно, что расстояние от A до C складывается из расстояний от A до B и от B до C. Математически это можно записать так:

$d(A, C) = d(A, B) + d(B, C)$

Подставим известные значения в формулу:

$5 \text{ км} = 2 \text{ км} + d(B, C)$

Отсюда находим искомое расстояние:

$d(B, C) = 5 \text{ км} - 2 \text{ км} = 3 \text{ км}$

Вариант 2: Деревня A находится между деревнями B и C.

В этом случае порядок расположения деревень следующий: B – A – C (или симметричный ему C – A – B).

Из этой схемы видно, что расстояние от B до C равно сумме расстояний от B до A и от A до C:

$d(B, C) = d(B, A) + d(A, C)$

Подставляем известные значения:

$d(B, C) = 2 \text{ км} + 5 \text{ км} = 7 \text{ км}$

Третий возможный случай, когда деревня C находится между A и B, невозможен, так как расстояние $d(A, B) = 2$ км, а $d(A, C) = 5$ км. Если бы C была между A и B, то расстояние от A до C было бы меньше расстояния от A до B, что противоречит условию.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: Расстояние между деревнями B и C может быть равно 3 км или 7 км. Задача имеет два решения.

3.18. Как от ленты длиной 2 м отрезать кусок длиной 150 см, если линейкой с делениями пользоваться нельзя?

Для решения этой задачи необходимо использовать метод деления ленты на равные части путем ее сгибания. Линейка без делений может служить только для проведения прямых линий, но не для измерения длины.

1. Сначала приведем все величины к одной единице измерения. Общая длина ленты составляет 2 метра, что эквивалентно 200 сантиметрам ($2 \text{ м} = 200 \text{ см}$). Нам нужно отрезать кусок длиной 150 см.

2. Найдем соотношение между длиной куска, который нужно отрезать, и общей длиной ленты:

$$ \frac{150 \text{ см}}{200 \text{ см}} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} $$

Это означает, что нам нужно отрезать кусок, составляющий три четверти от всей длины ленты.

3. Чтобы получить отметку в $3/4$ длины без измерительных инструментов, можно поступить следующим образом:

• Сложите ленту ровно пополам, совместив ее концы. Место сгиба разделит ленту на две равные части по $200 / 2 = 100$ см каждая.

• Не разворачивая ленту, сложите ее еще раз пополам. Теперь лента сложена в четыре раза. Если ее развернуть, на ней будут видны три метки (сгиба), которые делят всю ленту на четыре равные части.

4. Длина каждой из этих четырех частей будет равна:

$$ \frac{200 \text{ см}}{4} = 50 \text{ см} $$

5. Развернув ленту, мы получим метки на расстояниях 50 см, 100 см и 150 см от одного из концов.

6. Теперь можно отрезать ленту по третьей от края метке сгиба. Длина этого куска составит $3 \times 50 \text{ см} = 150 \text{ см}$.

Ответ: Необходимо сложить ленту пополам, а затем еще раз пополам. Развернув ее, мы получим три сгиба, делящие ленту на четыре равные части. Отрезав ленту по третьему сгибу от края, мы получим кусок искомой длины 150 см.

3.19. На прямой от одной точки в одном направлении отложены три равных отрезка так, что конец первого отрезка служит серединой второго, а конец второго — серединой третьего. Длина отрезка, концами которого служат начало первого и конец третьего отрезка, равна 28 см. Найдите длину этих отрезков.

Обозначим искомую длину каждого из трех равных отрезков через $x$ см.

Расположим отрезки на одной прямой в одном направлении. Пусть начало первого отрезка находится в точке $A$. Тогда конец первого отрезка, точка $B$, находится на расстоянии $x$ от точки $A$, то есть $|AB| = x$.

Согласно условию, точка $B$ является серединой второго отрезка. Так как отрезки откладываются в одном направлении, конец второго отрезка (назовем его $D$) будет лежать дальше от точки $A$. Расстояние от $B$ до $D$ равно половине длины второго отрезка, то есть $|BD| = x/2$.

Аналогично, конец второго отрезка, точка $D$, является серединой третьего отрезка. Конец третьего отрезка (назовем его $F$) будет лежать еще дальше. Расстояние от $D$ до $F$ равно половине длины третьего отрезка, то есть $|DF| = x/2$.

Таким образом, общая длина отрезка от начала первого ($A$) до конца третьего ($F$) складывается из длин отрезков $AB$, $BD$ и $DF$.

Найдем длину отрезка $AF$:

$|AF| = |AB| + |BD| + |DF| = x + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} = x + x = 2x$

По условию задачи, длина отрезка $AF$ равна 28 см. Составим и решим уравнение:

$2x = 28$

$x = \frac{28}{2}$

$x = 14$

Следовательно, длина каждого из трех равных отрезков составляет 14 см.

Ответ: 14 см.

3.20. Толщина газетного листа равна 0,1 миллиметра. Газетный лист сложили пополам, потом еще раз пополам и так пятьдесят раз. Если предположить, что такое сложение возможно, то какой толщины получилась бы стопка?

Эта задача демонстрирует, как быстро растет величина при экспоненциальном росте. Решим ее по шагам.

Начальная толщина одного газетного листа составляет $h_0 = 0,1$ мм.

При каждом складывании листа пополам количество слоев бумаги, а следовательно, и общая толщина стопки, удваивается.

После первого складывания толщина будет равна $h_1 = 0,1 \text{ мм} \times 2 = 0,2$ мм. После второго складывания толщина составит $h_2 = 0,2 \text{ мм} \times 2 = 0,1 \text{ мм} \times 2^2 = 0,4$ мм. После третьего — $h_3 = 0,4 \text{ мм} \times 2 = 0,1 \text{ мм} \times 2^3 = 0,8$ мм.

Таким образом, мы видим закономерность, которую можно описать формулой. Толщина стопки $H$ после $n$ складываний вычисляется как:

$H = h_0 \times 2^n$

По условию задачи, лист сложили $n=50$ раз. Подставим известные значения в формулу:

$H = 0,1 \text{ мм} \times 2^{50}$

Теперь необходимо вычислить $2^{50}$.

$2^{50} = 1 125 899 906 842 624$

Теперь умножим это значение на начальную толщину листа:

$H = 0,1 \times 1 125 899 906 842 624 = 112 589 990 684 262,4$ мм.

Полученная толщина в миллиметрах огромна. Для лучшего понимания масштаба переведем ее в километры. В одном километре содержится $1 000 000$ миллиметров ($10^6$ мм).

$H_{км} = \frac{112 589 990 684 262,4 \text{ мм}}{1 000 000 \text{ мм/км}} = 112 589 990,684$ км.

Это примерно 112,6 миллионов километров. Для сравнения, среднее расстояние от Земли до Солнца составляет около 150 миллионов километров. Таким образом, стопка бумаги почти достала бы до Солнца.

Ответ: Толщина получившейся стопки составила бы $112 589 990 684 262,4$ мм, что составляет примерно 112,6 миллионов километров.

Подготовьте сообщение

3.21. Единицы измерения в разных странах в конце XVIII в. Эталон единицы длины – метр.

Единицы измерения в разных странах в конце XVIII в. В конце XVIII века в мире отсутствовала единая и универсальная система мер. Большинство систем измерения были исторически сложившимися, неупорядоченными и основывались на антропометрических принципах (частях человеческого тела) или на бытовых величинах, что создавало огромные трудности в торговле, науке и управлении. В каждой стране, а зачастую и в разных ее регионах, существовали свои собственные единицы.
• Во Франции, до Великой французской революции, царил настоящий хаос в измерениях. Существовало до 800 различных названий мер, а их значения могли отличаться от города к городу. Основными единицами длины были парижский королевский фут (pied du roi, около 32,5 см), который делился на 12 дюймов (pouce), а дюйм — на 12 линий (ligne). Также использовались туаз (toise, 6 футов, около 1,95 м) и лье (lieue, около 4 км). Единицы веса, такие как ливр (livre, фунт), и объема, как пинта (pinte), также имели множество региональных вариаций.
• В Великобритании и ее колониях формировалась Британская имперская система единиц. Основными мерами длины были дюйм, фут (30,48 см), ярд (3 фута) и миля (1760 ярдов). Для веса использовали унцию и фунт, а для объема — галлон и пинту. Хотя эта система была более упорядоченной, чем во Франции, она не имела десятичной основы, что усложняло расчеты.
• В Российской империи использовалась своя традиционная система. Единицами длины служили аршин (около 71,12 см), который делился на 16 вершков, сажень (3 аршина или 2,13 м) и верста (500 саженей или около 1,067 км). Мерами веса были пуд (16,38 кг), фунт (около 409,5 г) и золотник. Эта система также не была десятичной и была привязана к собственным физическим эталонам.
• В других европейских государствах (Италии, германских землях) ситуация была схожей с французской: каждое княжество, герцогство или вольный город имели свои собственные единицы, такие как локоть (Elle), фут (Fuß), миля (Meile), значения которых сильно различались.
Такое разнообразие и отсутствие стандартов тормозили экономическое и научное развитие, делая необходимым создание новой, универсальной и логичной системы мер.
Ответ: В конце XVIII века в большинстве стран, включая Францию, Великобританию и Россию, использовались собственные, не связанные друг с другом и не основанные на десятичном принципе системы мер длины, веса и объема. Это приводило к путанице и сложностям в торговле и науке из-за отсутствия единых стандартов.

Эталон единицы длины — метр Идея создания новой, рациональной системы мер, основанной на естественном, неизменном эталоне, возникла в эпоху Просвещения. Великая французская революция дала толчок к практической реализации этой идеи. В 1790 году Национальное собрание Франции поручило Парижской академии наук разработать такую систему, которая была бы «для всех людей, на все времена».
Комиссия, в которую входили выдающиеся ученые, такие как Лагранж, Лаплас, Кондорсе и Монж, предложила определить основную единицу длины — метр — через размер планеты Земля, что делало бы ее универсальной и не зависящей от рукотворных артефактов. После рассмотрения различных вариантов было принято следующее определение: метр равен одной десятимиллионной доле четверти длины парижского меридиана (расстояния от Северного полюса до экватора). Математически это выражается так: $1 \text{ метр} = \frac{1}{10 \, 000 \, 000} \times (\text{расстояние от полюса до экватора по парижскому меридиану})$.
Для практического определения длины метра была организована масштабная научная экспедиция под руководством астрономов Жана-Батиста Деламбра и Пьера Мешена. С 1792 по 1799 год они с невероятной точностью для того времени измерили дугу меридиана между Дюнкерком на севере Франции и Барселоной в Испании. На основе полученных данных был рассчитан эталон метра.
В 1799 году был изготовлен первый физический эталон — платиновая линейка, получившая название «Архивный метр» (Mètre des Archives). Она была передана на хранение в Национальный архив Франции и официально стала стандартом длины. На основе метра была построена вся метрическая система: литр (единица объема) был определен как объем куба со стороной 10 см, а килограмм (единица массы) — как масса одного литра воды при температуре ее максимальной плотности ($4^\circ\text{C}$).
Метрическая система, благодаря своей логичности, простоте и десятичной основе, была официально принята во Франции в 1795 году и постепенно, в течение XIX и XX веков, распространилась по всему миру, став международным стандартом в науке и технике.
Ответ: Эталон длины, метр, был определен в конце XVIII века во Франции как одна десятимиллионная часть расстояния от Северного полюса до экватора. Для его вычисления была проведена геодезическая экспедиция, и в 1799 году был создан первый физический эталон из платины, ставший основой для новой, десятичной метрической системы мер.