Страница 13 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

2.5. На клетчатой бумаге изобразите луч $CE$ и отрезок $AB$, как показано на рисунке 2.7. От вершины $C$ луча $CE$ отложите отрезок $CD$, равный отрезку $AB$.

Поскольку в задаче отсутствует упоминаемый рисунок 2.7, мы решим ее на конкретном примере. Предположим, что на клетчатой бумаге заданы точки со следующими координатами (размер клетки 1x1): A(1, 5), B(3, 1), C(6, 2) и E(7, 4).

Для начала изобразим на клетчатой бумаге отрезок AB и луч CE, исходя из заданных координат.

Шаг 1. Нахождение длины отрезка AB

Чтобы найти длину отрезка на клетчатой бумаге, можно использовать теорему Пифагора. Мысленно построим прямоугольный треугольник, где отрезок AB является гипотенузой, а катеты параллельны линиям сетки.

Смещение по горизонтали (вдоль оси x) между точками A(1, 5) и B(3, 1) составляет $ \Delta x = 3 - 1 = 2 $ клетки.Смещение по вертикали (вдоль оси y) составляет $ \Delta y = 1 - 5 = -4 $ клетки (то есть 4 клетки вниз).

Длина отрезка AB вычисляется по формуле:$ AB = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} $Подставим наши значения:$ AB = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} $.

Шаг 2. Определение направления луча CE

Луч CE начинается в точке C(6, 2) и проходит через точку E(7, 4). Его направление задается вектором $ \vec{CE} $.Смещение по горизонтали для этого вектора: $ \Delta x_c = 7 - 6 = 1 $ клетка.Смещение по вертикали: $ \Delta y_c = 4 - 2 = 2 $ клетки.

Таким образом, направление луча CE — это 1 клетка вправо и 2 клетки вверх от любой точки на луче.

Шаг 3. Построение точки D на луче CE

Нам необходимо найти такую точку D на луче CE, чтобы длина отрезка CD была равна длине отрезка AB. То есть, $ CD = AB = \sqrt{20} $.Поскольку точка D лежит на луче CE, вектор $ \vec{CD} $ должен быть сонаправлен вектору $ \vec{CE} $. Это означает, что $ \vec{CD} $ можно получить, умножив вектор $ \vec{CE} $ на некоторое положительное число $k$: $ \vec{CD} = k \cdot \vec{CE} $.

Сначала найдем длину "базового" отрезка CE:$ |\vec{CE}| = \sqrt{(\Delta x_c)^2 + (\Delta y_c)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} $.

Длина отрезка CD должна быть $ k $ раз больше длины CE: $ CD = k \cdot |\vec{CE}| = k\sqrt{5} $.Приравниваем длины CD и AB:$ k\sqrt{5} = \sqrt{20} $$ k = \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt{4} = 2 $.

Коэффициент $ k=2 $ означает, что отрезок CD должен быть в два раза длиннее отрезка CE. Следовательно, вектор $ \vec{CD} $ в два раза длиннее вектора $ \vec{CE} $:$ \vec{CD} = 2 \cdot \vec{CE} = 2 \cdot (1, 2) = (2, 4) $.

Чтобы найти точку D, нужно от точки C(6, 2) отложить вектор $ \vec{CD} $(2, 4). Это значит, что от точки C нужно сместиться на 2 клетки вправо и на 4 клетки вверх.Координаты точки D: $ D = (6+2, 2+4) = (8, 6) $.

Нанесем точку D на наш рисунок и соединим ее с точкой C.

Ответ: Чтобы отложить от вершины C луча CE отрезок CD, равный отрезку AB, необходимо выполнить следующие действия:1. Определить смещение по клеткам по горизонтали ($ \Delta x $) и вертикали ($ \Delta y $) для отрезка AB и вычислить его длину $ L = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} $.2. Определить смещение по клеткам ($ \Delta x_c, \Delta y_c $) для "направляющего" отрезка луча CE.3. Найти во сколько раз ($ k $) отрезок CD должен быть длиннее отрезка CE, решив уравнение $ k \cdot \sqrt{(\Delta x_c)^2 + (\Delta y_c)^2} = L $.4. Отложить от точки C новый отрезок, смещения по горизонтали и вертикали для которого равны $ k \cdot \Delta x_c $ и $ k \cdot \Delta y_c $ соответственно. Конечная точка этого отрезка и будет искомой точкой D.

2.6. Укажите равные отрезки, изображенные на рисунке 2.8.

На рисунке 2.8 равные отрезки: $отрезок\;б)$ и $отрезок\;г)$.

Рис. 2.8

Рис. 2.9

Рис. 2.10

Для того чтобы определить, какие из отрезков, изображенных на рисунке 2.8, равны, необходимо найти длину каждого из них. Примем сторону одной клетки координатной сетки за 1 единицу. Длину отрезков, расположенных горизонтально или вертикально, можно определить простым подсчетом клеток. Для наклонных отрезков длину можно вычислить по теореме Пифагора $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, представив отрезок как гипотенузу (c) прямоугольного треугольника. Катетами (a и b) такого треугольника будут проекции отрезка на горизонтальную и вертикальную оси.

Проанализируем длины всех отрезков: отрезок а) имеет длину 2 единицы. Длина отрезка б), найденная по теореме Пифагора для катетов 2 и 2, равна $\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}$ единиц. Длина отрезка в) для катетов 2 и 1 равна $\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$ единиц. Длина отрезка г) для катетов 2 и 1 также равна $\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$ единиц. Отрезок д) имеет длину 2 единицы. Длина отрезка е) для катетов 3 и 1 равна $\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$ единиц.

Сравнивая полученные значения, мы можем выделить две пары равных отрезков.

Равные отрезки: а) и д) Отрезок а) является горизонтальным, и его длина равна 2 единицам. Отрезок д) является вертикальным, и его длина также равна 2 единицам. Поскольку их длины одинаковы, отрезки а) и д) равны.

Ответ: а) и д).

Равные отрезки: в) и г) Отрезок в) — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами длиной 2 и 1 единица. Его длина равна $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$ единиц. Отрезок г) также является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами длиной 2 и 1 единица. Его длина также равна $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$ единиц. Так как длины отрезков в) и г) равны, сами отрезки также равны.

Ответ: в) и г).

2.7. Для точек $A$, $B$, $C$, $D$ прямой известно, что точки $B$ и $C$ лежат по одну сторону от точки $A$, точки $B$ и $D$ тоже лежат по одну сторону от точки $A$. Как расположены точки $C$ и $D$ относительно точки $A$?

Для решения этой задачи проанализируем условия расположения точек на прямой. Точка $A$ делит прямую на два луча, которые и представляют собой "две стороны" от точки $A$.

1. Из условия, что точки $B$ и $C$ лежат по одну сторону от точки $A$, следует, что они обе находятся на одном и том же луче, выходящем из точки $A$.

2. Из условия, что точки $B$ и $D$ тоже лежат по одну сторону от точки $A$, следует, что и они находятся на том же самом луче, что и в первом пункте, поскольку точка $B$ является общей для обоих условий.

Таким образом, можно сделать вывод, что все три точки — $B$, $C$ и $D$ — лежат на одном и том же луче с началом в точке $A$. Это свойство можно назвать транзитивностью: если $C$ находится на той же стороне, что и $B$, а $D$ находится на той же стороне, что и $B$, то $C$ и $D$ находятся на одной стороне.

Следовательно, точки $C$ и $D$ лежат по одну сторону от точки $A$.

Ниже представлен один из возможных вариантов расположения точек на прямой:

На рисунке все три точки $B$, $C$, $D$ расположены на луче справа от точки $A$. Аналогично, они все могли бы быть расположены на луче слева от точки $A$. В обоих случаях вывод остается неизменным.

Ответ: Точки $C$ и $D$ лежат по одну сторону от точки $A$.

2.8. На клетчатой бумаге изобразите отрезки, как показано на рисунке 2.9. Укажите середины отрезков $AB$, $CD$, $EF$.

Для нахождения середины отрезка, заданного на клетчатой бумаге, удобно ввести систему координат, где узлы сетки будут иметь целочисленные координаты. После этого можно воспользоваться формулой для нахождения координат середины отрезка.

Если концы отрезка имеют координаты $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, то координаты его середины $(x_M, y_M)$ вычисляются по формулам:
$x_M = \frac{x_1+x_2}{2}$
$y_M = \frac{y_1+y_2}{2}$

Поскольку в условии задачи не приведен рисунок 2.9, изобразим возможный вариант расположения отрезков на клетчатой бумаге и найдем их середины.

Середина отрезка AB

По рисунку определим координаты концов отрезка AB: точка A имеет координаты (1, 6), точка B имеет координаты (7, 6).

Пусть точка M — середина отрезка AB. Найдем ее координаты $(x_M, y_M)$:

$x_M = \frac{1+7}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$y_M = \frac{6+6}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Таким образом, середина отрезка AB — это точка M с координатами (4, 6).

Ответ: Середина отрезка AB — точка M(4, 6).

Середина отрезка CD

Определим координаты концов отрезка CD: точка C имеет координаты (9, 7), точка D имеет координаты (9, 2).

Пусть точка N — середина отрезка CD. Найдем ее координаты $(x_N, y_N)$:

$x_N = \frac{9+9}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$y_N = \frac{7+2}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$

Таким образом, середина отрезка CD — это точка N с координатами (9, 4.5).

Ответ: Середина отрезка CD — точка N(9, 4.5).

Середина отрезка EF

Определим координаты концов отрезка EF: точка E имеет координаты (1, 1), точка F имеет координаты (5, 4).

Пусть точка P — середина отрезка EF. Найдем ее координаты $(x_P, y_P)$:

$x_P = \frac{1+5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$y_P = \frac{1+4}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$

Таким образом, середина отрезка EF — это точка P с координатами (3, 2.5).

Ответ: Середина отрезка EF — точка P(3, 2.5).

2.9. На клетчатой бумаге изобразите отрезки, как показано на рисунке 2.9. Укажите точки, делящие отрезки $AB$, $CD$, $EF$ на три равные части.

Для того чтобы разделить отрезок на три равные части, необходимо найти две точки, которые будут делить его в отношении 1:2 и 2:1. Если отрезок задан на клетчатой бумаге и его концы $P_1(x_1, y_1)$ и $P_2(x_2, y_2)$ находятся в узлах сетки, то координаты точек деления $M_1$ и $M_2$ можно найти по формулам:

$M_1 = \left(x_1 + \frac{1}{3}(x_2 - x_1), y_1 + \frac{1}{3}(y_2 - y_1)\right)$

$M_2 = \left(x_1 + \frac{2}{3}(x_2 - x_1), y_1 + \frac{2}{3}(y_2 - y_1)\right)$

Геометрически это означает, что мы находим вектор $\vec{P_1P_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$, делим его на три равные части, получая вектор "шага" $\vec{v} = \frac{1}{3}\vec{P_1P_2}$, а затем последовательно откладываем этот вектор от начальной точки $P_1$. Точка $M_1$ находится на расстоянии $\vec{v}$ от $P_1$, а точка $M_2$ — на расстоянии $\vec{v}$ от $M_1$.

Поскольку исходный рисунок 2.9 не предоставлен, мы изобразим три произвольных отрезка AB, CD, EF, концы которых лежат в узлах сетки, и найдем для них точки деления.

Отрезок AB
Введем систему координат, где одна клетка равна единице. Пусть координаты точек $A=(1, 1)$ и $B=(7, 4)$.
Найдем вектор $\vec{AB}$: $\vec{AB} = (7-1, 4-1) = (6, 3)$.
Так как компоненты вектора (6 и 3) делятся на 3, точки деления будут лежать в узлах сетки.
Вектор-шаг равен $\vec{v}_{AB} = \frac{1}{3}\vec{AB} = (\frac{6}{3}, \frac{3}{3}) = (2, 1)$.
Координаты первой точки деления $M_1$: $A + \vec{v}_{AB} = (1+2, 1+1) = (3, 2)$.
Координаты второй точки деления $M_2$: $M_1 + \vec{v}_{AB} = (3+2, 2+1) = (5, 3)$.
Проверка: $M_2 + \vec{v}_{AB} = (5+2, 3+1) = (7, 4)$, что совпадает с координатами точки $B$.
Ответ: Точки, делящие отрезок AB на три равные части, — это точки $M_1(3, 2)$ и $M_2(5, 3)$.

Отрезок CD
Пусть координаты точек $C=(2, 9)$ и $D=(2, 3)$.
Найдем вектор $\vec{CD}$: $\vec{CD} = (2-2, 3-9) = (0, -6)$.
Компоненты вектора (0 и -6) делятся на 3.
Вектор-шаг равен $\vec{v}_{CD} = \frac{1}{3}\vec{CD} = (\frac{0}{3}, \frac{-6}{3}) = (0, -2)$.
Координаты первой точки деления $K_1$: $C + \vec{v}_{CD} = (2+0, 9-2) = (2, 7)$.
Координаты второй точки деления $K_2$: $K_1 + \vec{v}_{CD} = (2+0, 7-2) = (2, 5)$.
Проверка: $K_2 + \vec{v}_{CD} = (2+0, 5-2) = (2, 3)$, что совпадает с координатами точки $D$.
Ответ: Точки, делящие отрезок CD на три равные части, — это точки $K_1(2, 7)$ и $K_2(2, 5)$.

Отрезок EF
Пусть координаты точек $E=(11, 8)$ и $F=(2, 2)$.
Найдем вектор $\vec{EF}$: $\vec{EF} = (2-11, 2-8) = (-9, -6)$.
Компоненты вектора (-9 и -6) делятся на 3.
Вектор-шаг равен $\vec{v}_{EF} = \frac{1}{3}\vec{EF} = (\frac{-9}{3}, \frac{-6}{3}) = (-3, -2)$.
Координаты первой точки деления $L_1$: $E + \vec{v}_{EF} = (11-3, 8-2) = (8, 6)$.
Координаты второй точки деления $L_2$: $L_1 + \vec{v}_{EF} = (8-3, 6-2) = (5, 4)$.
Проверка: $L_2 + \vec{v}_{EF} = (5-3, 4-2) = (2, 2)$, что совпадает с координатами точки $F$.
Ответ: Точки, делящие отрезок EF на три равные части, — это точки $L_1(8, 6)$ и $L_2(5, 4)$.

2.10. Расположите номера в порядке возрастания соответствующих отрезков, изображенных на рисунке 2.10.

Для решения этой задачи необходимо расположить номера отрезков, изображенных на рисунке 2.10, в порядке возрастания их длин. Однако в предоставленном изображении содержится только текст вопроса, а сам рисунок 2.10 отсутствует. Без визуальной информации об отрезках невозможно сравнить их длины и, соответственно, выполнить требуемое упорядочивание.

Ответ: Невозможно дать ответ, так как рисунок 2.10, на который ссылается условие задачи, не предоставлен.