Страница 9 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1.7. Укажите прямые, изображенные на рисунке 1.7, пересекающие прямую $a$.

Рис. 1.7

Чтобы определить, какие прямые пересекают прямую $a$, необходимо найти все прямые, которые не параллельны ей. Две прямые на плоскости пересекаются в одной точке, если их углы наклона различны. Если углы наклона одинаковы, прямые параллельны и не пересекаются (или совпадают, что здесь не наблюдается).

Проанализируем прямые, изображенные на рисунке:

1. Прямая $b$ имеет такой же наклон, как и прямая $a$. Визуально они параллельны. Следовательно, прямые $a$ и $b$ не пересекаются ($a \parallel b$).

2. Все остальные прямые имеют наклон, отличный от наклона прямой $a$:

- Прямые $c, d, g, h, r$ имеют отрицательный наклон (направлены "вниз"), в то время как прямая $a$ имеет положительный наклон (направлена "вверх"). Поэтому они все пересекают прямую $a$.

- Прямые $p$ и $q$ являются горизонтальными (нулевой наклон) и, следовательно, пересекают наклонную прямую $a$.

- Прямые $e$ и $f$ также имеют положительный наклон, но он заметно больше, чем у прямой $a$. Поскольку их наклоны не равны, они пересекают прямую $a$.

Таким образом, все прямые, за исключением прямой $b$, пересекают прямую $a$.

Ответ: $c, d, e, f, g, h, p, q, r$.

1.8. Пусть прямые $a, b, c$ пересекаются в одной точке и прямые $b, c, d$ пересекаются в одной точке. Что можно сказать о всех прямых $a, b, c, d$?

Проанализируем условия задачи, чтобы определить взаимное расположение прямых a, b, c и d.

Согласно первому условию, прямые a, b и c пересекаются в одной точке. Обозначим эту общую точку пересечения как $M_1$. Это означает, что точка $M_1$ принадлежит каждой из этих трех прямых:
$M_1 \in a$, $M_1 \in b$, $M_1 \in c$.

Согласно второму условию, прямые b, c и d также пересекаются в одной точке. Обозначим эту общую точку пересечения как $M_2$. Это означает, что точка $M_2$ принадлежит каждой из этих трех прямых:
$M_2 \in b$, $M_2 \in c$, $M_2 \in d$.

Теперь обратим внимание на прямые b и c. Из первого условия следует, что они пересекаются в точке $M_1$. Из второго условия следует, что они пересекаются в точке $M_2$.

В геометрии две различные прямые (если они не параллельны) могут пересекаться только в одной единственной точке. Если мы предположим, что прямые b и c различны (что обычно подразумевается в таких задачах), то их точка пересечения должна быть уникальной. Следовательно, точки $M_1$ и $M_2$ должны совпадать: $M_1 = M_2$.

Давайте назовем эту единую точку пересечения $M$.
Поскольку $M = M_1$, точка $M$ лежит на прямых a, b и c.
Поскольку $M = M_2$, точка $M$ также лежит на прямых b, c и d.

Объединив эти факты, мы заключаем, что точка $M$ является общей для всех четырех прямых: a, b, c и d.

Таким образом, можно утверждать, что все четыре прямые проходят через одну и ту же точку.
Примечание: Этот вывод верен при условии, что прямые b и c не совпадают. Если бы $b=c$, то из условий следовало бы только то, что прямые a и d пересекают прямую b, но не обязательно в одной и той же точке.

Ответ: Все четыре прямые a, b, c и d пересекаются в одной точке (при условии, что прямые b и c различны).

1.9. Сколько точек попарных пересечений могут иметь три прямые?

Изобразите различные случаи.

Три прямые на плоскости могут иметь 0, 1, 2 или 3 точки попарных пересечений. Это зависит от их взаимного расположения. Рассмотрим все возможные случаи.

0 точек пересечения

Этот случай имеет место, когда все три прямые параллельны друг другу. Поскольку параллельные прямые не пересекаются, точек пересечения нет.

Ответ: 0.

1 точка пересечения

Этот случай возникает, когда все три прямые проходят через одну общую точку. Таким образом, существует только одна точка пересечения для всех трех прямых.

Ответ: 1.

2 точки пересечения

Этот случай возможен, если две прямые параллельны друг другу, а третья прямая пересекает их. Третья прямая создает по одной точке пересечения с каждой из двух параллельных прямых, что в сумме дает две точки.

Ответ: 2.

3 точки пересечения

Это случай общего положения, когда ни одна из прямых не параллельна другой, и все три не пересекаются в одной точке. Каждая пара прямых пересекается в своей уникальной точке, образуя в общей сложности три точки пересечения, которые являются вершинами треугольника.

Ответ: 3.

Таким образом, три прямые могут иметь 0, 1, 2 или 3 точки попарных пересечений.

1.10. Изобразите четыре прямые так, чтобы у них было:

а) три точки;

б) четыре точки;

в) пять точек;

г) шесть точек попарных пересечений.

а) три точки

Чтобы получить три точки пересечения, можно расположить три из четырех прямых параллельно друг другу, а четвертую прямую провести так, чтобы она пересекала все три параллельные прямые. Каждое пересечение четвертой прямой с одной из параллельных даст одну точку. Так как параллельные прямые между собой не пересекаются, общее число точек будет равно трем.

Ответ: Конфигурация из трех параллельных прямых и одной пересекающей их прямой.

б) четыре точки

Чтобы получить четыре точки пересечения, можно провести три прямые так, чтобы они пересекались в одной общей точке. Четвертую прямую нужно провести так, чтобы она пересекала все три первые прямые в различных точках, не проходя через их общую точку пересечения. В этом случае будет одна точка пересечения для первых трех прямых и еще три точки от пересечения четвертой прямой с каждой из них.

Ответ: Конфигурация из трех прямых, пересекающихся в одной точке, и четвертой прямой, пересекающей их в трех других точках.

в) пять точек

Чтобы получить пять точек пересечения, нужно, чтобы ровно одна пара прямых из четырех была параллельна. Две другие прямые должны быть непараллельны ни первой паре, ни друг другу, и их точка пересечения не должна лежать на параллельных прямых. В этом случае две непараллельные прямые дадут одну точку пересечения. Каждая из них также пересечет две параллельные прямые, что даст еще $2+2=4$ точки. Итого $1+4=5$ точек.

Ответ: Конфигурация, в которой одна пара прямых параллельна, а две другие прямые непараллельны ни им, ни друг другу.

г) шесть точек попарных пересечений

Чтобы получить максимальное количество точек пересечения, равное шести, четыре прямые должны быть расположены в так называемом общем положении. Это означает, что никакие две прямые не параллельны и никакие три прямые не пересекаются в одной точке. В этом случае каждая пара прямых пересекается в уникальной точке. Число пар, которые можно составить из четырех прямых, равно числу сочетаний из 4 по 2: $C_4^2 = \frac{4 \cdot (4-1)}{2} = 6$.

Ответ: Конфигурация четырех прямых в общем положении (никакие две не параллельны, никакие три не пересекаются в одной точке).

1.11. Изобразите пять прямых так, чтобы у них было десять точек попарных пересечений.

Чтобы пять прямых имели десять точек попарных пересечений, необходимо расположить их так, чтобы выполнялись два условия:

1. Никакие две прямые не должны быть параллельны, то есть каждая прямая должна пересекать все остальные четыре.

2. Никакие три (или более) прямые не должны пересекаться в одной и той же точке.

Такое расположение прямых на плоскости называется общим положением.

При таком расположении количество точек пересечения для n прямых будет максимальным. Каждая точка пересечения однозначно определяется парой пересекающихся прямых. Следовательно, количество точек пересечения равно количеству способов выбрать 2 прямые из n имеющихся. Это число находится с помощью формулы для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае дано n = 5 прямых, и мы ищем количество пар, то есть k = 2. Подставим эти значения в формулу:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.

Таким образом, теоретически возможное максимальное число точек пересечения для пяти прямых равно десяти. Это и есть требуемое в задаче количество. Следовательно, нам нужно просто изобразить пять прямых в общем положении.

Наглядным примером такого расположения являются прямые, содержащие стороны пентаграммы (пятиконечной звезды). На рисунке ниже изображены пять прямых (черные линии), которые попарно пересекаются в десяти различных точках (отмечены красным).

Ответ: Необходимо расположить пять прямых в общем положении: чтобы никакие две из них не были параллельны и никакие три не пересекались в одной точке. Пример такого расположения показан на рисунке выше.

1.12. Используя рисунки 1.8 и 1.9, составьте два верных и два ложных высказывания.

Рис. 1.8

Рис. 1.9

Для выполнения задания проанализируем геометрические объекты и их взаимное расположение, изображенные на рисунках, и на основе этого анализа сформулируем по два верных и два ложных высказывания.

На рисунке 1.8 изображена прямая, на которой последовательно отмечены точки A, B и C. Это означает, что все три точки коллинеарны (лежат на одной прямой), а точка B расположена между точками A и C. На рисунке 1.9 показаны две прямые $m$ и $n$. Точка M принадлежит прямой $m$ ($M \in m$), а точка N не принадлежит ни одной из этих прямых ($N \notin m$ и $N \notin n$). Прямые $m$ и $n$ не параллельны ($m \not\parallel n$), так как они изображены сходящимися.

Верные высказывания:

1. Точка B лежит между точками A и C. Это утверждение истинно, так как на рисунке 1.8 мы видим, что точки расположены на прямой в порядке A, B, C. Согласно аксиоме расположения точек на прямой, это и означает, что B лежит между A и C.

2. Точка N не принадлежит прямой m. Это утверждение истинно. На рисунке 1.9 точка N изображена отдельно от прямой $m$. Математическая запись этого факта: $N \notin m$.

Ложные высказывания:

1. Прямые $m$ и $n$ параллельны. Это утверждение ложно. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. На рисунке 1.9 прямые $m$ и $n$ изображены сходящимися, то есть они пересекутся, если их продолжить. Следовательно, они не параллельны.

2. Точка C лежит на отрезке AB. Это утверждение ложно. Отрезок AB — это часть прямой, ограниченная точками A и B. Из рисунка 1.8 видно, что точка C находится вне этого отрезка.

Ответ:
Примеры верных высказываний:
1. Точка B лежит между точками A и C.
2. Точка N не принадлежит прямой m.
Примеры ложных высказываний:
1. Прямые $m$ и $n$ параллельны.
2. Точка C лежит на отрезке AB.

1.13. Айжан, Сауле, Берик и Даурен построились вдоль прямой линии. Берик оказался между Айжан и Сауле, а Сауле — между Бериком и Дауреном. В каком порядке стоят ребята?

Для решения этой логической задачи необходимо последовательно проанализировать предоставленные условия и объединить их.

1. «Берик оказался между Айжан и Сауле».

Это условие означает, что Айжан и Сауле находятся по разные стороны от Берика. Существует два возможных варианта их относительного расположения в ряду:

а) Айжан, Берик, Сауле

б) Сауле, Берик, Айжан

2. «Сауле — между Бериком и Дауреном».

Это условие означает, что Берик и Даурен находятся по разные стороны от Сауле. Это также дает два возможных варианта их относительного расположения:

а) Берик, Сауле, Даурен

б) Даурен, Сауле, Берик

Теперь объединим информацию из обоих условий, чтобы найти полный порядок расположения всех четверых ребят.

Рассмотрим первый случай. Если верен порядок Айжан, Берик, Сауле, то из второго условия следует, что Даурен должен стоять после Сауле (так как Берик стоит до нее). Объединяя, получаем полную последовательность: Айжан, Берик, Сауле, Даурен.

Проверим этот порядок: Берик находится между Айжан и Сауле — верно. Сауле находится между Бериком и Дауреном — верно. Этот вариант является правильным решением.

Рассмотрим второй случай. Если верен порядок Сауле, Берик, Айжан, то из второго условия следует, что Даурен должен стоять до Сауле (так как Берик стоит после нее). Объединяя, получаем полную последовательность: Даурен, Сауле, Берик, Айжан.

Проверим этот порядок: Берик находится между Сауле и Айжан — верно. Сауле находится между Дауреном и Бериком — верно. Этот вариант также является правильным решением.

Таким образом, существуют два возможных правильных порядка.

Ответ: ребята стоят в порядке Айжан, Берик, Сауле, Даурен или в обратном порядке: Даурен, Сауле, Берик, Айжан.

1.14. Сколько прямых можно провести через различные пары из:
а) 3 точек;
б) 4 точек;
в) 5 точек;
г)*$n$ точек, никакие три из которых не принадлежат одной прямой?

Для решения этой задачи необходимо найти количество уникальных пар точек, которые можно составить из заданного числа точек. Поскольку через любые две различные точки можно провести только одну прямую, и по условию никакие три точки не лежат на одной прямой, то количество прямых будет равно количеству сочетаний из $n$ точек по 2. Формула для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае мы выбираем пары точек, поэтому $k=2$. Формула упрощается до:

$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$

Теперь применим эту формулу для каждого из подпунктов.

Для $n=3$ количество прямых вычисляется как число сочетаний из 3 по 2.

$C_3^2 = \frac{3 \cdot (3-1)}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$

Можно провести 3 прямые.

Ответ: 3

Для $n=4$ количество прямых вычисляется как число сочетаний из 4 по 2.

$C_4^2 = \frac{4 \cdot (4-1)}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$

Можно провести 6 прямых.

Ответ: 6

Для $n=5$ количество прямых вычисляется как число сочетаний из 5 по 2.

$C_5^2 = \frac{5 \cdot (5-1)}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$

Можно провести 10 прямых.

Ответ: 10

В общем случае для $n$ точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, количество прямых равно числу способов выбрать 2 точки из $n$. Это и есть число сочетаний из $n$ по 2.

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Эта формула позволяет найти ответ для любого количества точек $n$.

Ответ: $\frac{n(n-1)}{2}$