Номер 1.11, страница 9 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1.11. Изобразите пять прямых так, чтобы у них было десять точек попарных пересечений.

Чтобы пять прямых имели десять точек попарных пересечений, необходимо расположить их так, чтобы выполнялись два условия:

1. Никакие две прямые не должны быть параллельны, то есть каждая прямая должна пересекать все остальные четыре.

2. Никакие три (или более) прямые не должны пересекаться в одной и той же точке.

Такое расположение прямых на плоскости называется общим положением.

При таком расположении количество точек пересечения для n прямых будет максимальным. Каждая точка пересечения однозначно определяется парой пересекающихся прямых. Следовательно, количество точек пересечения равно количеству способов выбрать 2 прямые из n имеющихся. Это число находится с помощью формулы для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае дано n = 5 прямых, и мы ищем количество пар, то есть k = 2. Подставим эти значения в формулу:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.

Таким образом, теоретически возможное максимальное число точек пересечения для пяти прямых равно десяти. Это и есть требуемое в задаче количество. Следовательно, нам нужно просто изобразить пять прямых в общем положении.

Наглядным примером такого расположения являются прямые, содержащие стороны пентаграммы (пятиконечной звезды). На рисунке ниже изображены пять прямых (черные линии), которые попарно пересекаются в десяти различных точках (отмечены красным).

Ответ: Необходимо расположить пять прямых в общем положении: чтобы никакие две из них не были параллельны и никакие три не пересекались в одной точке. Пример такого расположения показан на рисунке выше.