Номер 1.15, страница 10 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1.15. Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь:

а) 3 прямые;

б) 4 прямые;

в) 5 прямые;

г) $n$ прямых?

Для нахождения наибольшего числа точек попарных пересечений прямых необходимо, чтобы выполнялись два условия:
1. Никакие две прямые не должны быть параллельны (чтобы каждая пара прямых имела точку пересечения).
2. Никакие три (и более) прямые не должны пересекаться в одной и той же точке (чтобы каждая точка пересечения была образована только одной парой прямых).

При выполнении этих условий каждая пара прямых будет давать ровно одну уникальную точку пересечения. Таким образом, задача сводится к подсчету количества различных пар, которые можно составить из заданного числа прямых. Это классическая задача комбинаторики, и ее решение — число сочетаний из $n$ по 2.

а) 3 прямые;

Для трех прямых ($n=3$) каждая прямая должна пересечь две другие. Визуально это можно представить в виде треугольника, стороны которого лежат на данных прямых.

Количество точек пересечения равно числу сочетаний из 3 по 2. Рассчитаем по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:
$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-1)!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot 1} = 3$.
Другой способ рассуждения: первая и вторая прямые пересекаются в 1 точке. Третья прямая пересекает две предыдущие, добавляя 2 новые точки. Итого: $1 + 2 = 3$ точки.

Ответ: 3

б) 4 прямые;

Для четырех прямых ($n=4$) каждая прямая должна пересечь три другие. На рисунке ниже показан пример расположения четырех прямых, дающий максимальное число точек пересечения.

Количество точек пересечения равно числу сочетаний из 4 по 2:
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.
Продолжая пошаговое рассуждение: мы уже имеем 3 точки от первых трех прямых. Четвертая прямая пересекает три предыдущие, добавляя 3 новые точки. Итого: $3 + 3 = 6$ точек.

Ответ: 6

в) 5 прямых;

Для пяти прямых ($n=5$), по аналогии с предыдущими пунктами, количество точек пересечения равно числу пар, которые можно составить из этих прямых.

Рассчитаем число сочетаний из 5 по 2:
$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.
Используя пошаговый метод: к 6 точкам пересечения от четырех прямых пятая прямая добавит еще 4 точки, пересекая каждую из предыдущих четырех. Итого: $6 + 4 = 10$ точек.

Ответ: 10

г) *n прямых?

Для общего случая с $n$ прямыми мы можем использовать ту же логику. Наибольшее число точек пересечения достигается, когда каждая пара прямых пересекается в уникальной точке. Следовательно, нам нужно найти количество всех возможных пар прямых из $n$ данных.

Это число сочетаний из $n$ по 2, которое вычисляется по формуле:
$C_n^2 = \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$.

Также можно вывести эту формулу, используя рекуррентный подход. Пусть $P(n)$ — максимальное число точек пересечения для $n$ прямых.
Когда мы добавляем $n$-ю прямую к уже существующим $n-1$ прямым, она может пересечь каждую из них, создав $n-1$ новую точку пересечения.
Таким образом, мы получаем рекуррентное соотношение: $P(n) = P(n-1) + (n-1)$.
Зная, что $P(1) = 0$, мы можем развернуть эту формулу:
$P(n) = (n-1) + (n-2) + \dots + 1 + P(1) = \sum_{i=1}^{n-1} i$.
Это сумма арифметической прогрессии, которая равна:
$P(n) = \frac{(n-1)n}{2}$.
Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\frac{n(n-1)}{2}$