Номер 1.10, страница 9 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1.10. Изобразите четыре прямые так, чтобы у них было:

а) три точки;

б) четыре точки;

в) пять точек;

г) шесть точек попарных пересечений.

а) три точки

Чтобы получить три точки пересечения, можно расположить три из четырех прямых параллельно друг другу, а четвертую прямую провести так, чтобы она пересекала все три параллельные прямые. Каждое пересечение четвертой прямой с одной из параллельных даст одну точку. Так как параллельные прямые между собой не пересекаются, общее число точек будет равно трем.

Ответ: Конфигурация из трех параллельных прямых и одной пересекающей их прямой.

б) четыре точки

Чтобы получить четыре точки пересечения, можно провести три прямые так, чтобы они пересекались в одной общей точке. Четвертую прямую нужно провести так, чтобы она пересекала все три первые прямые в различных точках, не проходя через их общую точку пересечения. В этом случае будет одна точка пересечения для первых трех прямых и еще три точки от пересечения четвертой прямой с каждой из них.

Ответ: Конфигурация из трех прямых, пересекающихся в одной точке, и четвертой прямой, пересекающей их в трех других точках.

в) пять точек

Чтобы получить пять точек пересечения, нужно, чтобы ровно одна пара прямых из четырех была параллельна. Две другие прямые должны быть непараллельны ни первой паре, ни друг другу, и их точка пересечения не должна лежать на параллельных прямых. В этом случае две непараллельные прямые дадут одну точку пересечения. Каждая из них также пересечет две параллельные прямые, что даст еще $2+2=4$ точки. Итого $1+4=5$ точек.

Ответ: Конфигурация, в которой одна пара прямых параллельна, а две другие прямые непараллельны ни им, ни друг другу.

г) шесть точек попарных пересечений

Чтобы получить максимальное количество точек пересечения, равное шести, четыре прямые должны быть расположены в так называемом общем положении. Это означает, что никакие две прямые не параллельны и никакие три прямые не пересекаются в одной точке. В этом случае каждая пара прямых пересекается в уникальной точке. Число пар, которые можно составить из четырех прямых, равно числу сочетаний из 4 по 2: $C_4^2 = \frac{4 \cdot (4-1)}{2} = 6$.

Ответ: Конфигурация четырех прямых в общем положении (никакие две не параллельны, никакие три не пересекаются в одной точке).