Номер 1.4, страница 8 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1.4. Изобразите: а) четыре точки; б) пять точек; в) шесть точек, никакие три из которых не принадлежат одной прямой (рис. 1.4). Проведите прямые, проходящие через различные пары из этих точек. Сколько всего таких прямых?

Рис. 1.4

а) Изобразим четыре точки A, B, C, D, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Чтобы найти количество прямых, которые можно провести через различные пары этих точек, можно либо перечислить все возможные пары точек, либо использовать комбинаторный подход.

При перечислении получаем следующие прямые: AB, AC, AD, BC, BD, CD. Всего получается 6 прямых.

С точки зрения комбинаторики, количество прямых равно числу сочетаний из 4 элементов по 2, поскольку каждая прямая однозначно определяется двумя точками. Формула для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае, количество точек $n=4$, и для проведения прямой мы выбираем $k=2$ точки:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$

Ответ: 6 прямых.

б) Для пяти точек, расположенных так, что никакие три из них не лежат на одной прямой, количество прямых, которые можно провести через них, также вычисляется с помощью формулы числа сочетаний. В этом случае $n=5$ и $k=2$.

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

Можно провести 10 различных прямых. На рисунке ниже изображены 5 точек и все 10 прямых, проходящих через них.

Ответ: 10 прямых.

в) Для шести точек, никакие три из которых не являются коллинеарными, количество прямых, которые можно провести через них, вычисляется аналогично. Здесь $n=6$ и $k=2$.

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$

Следовательно, можно провести 15 различных прямых. На рисунке показаны 6 точек и 15 прямых.

Ответ: 15 прямых.