Страница 8 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1.4. Изобразите: а) четыре точки; б) пять точек; в) шесть точек, никакие три из которых не принадлежат одной прямой (рис. 1.4). Проведите прямые, проходящие через различные пары из этих точек. Сколько всего таких прямых?

Рис. 1.4

а) Изобразим четыре точки A, B, C, D, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Чтобы найти количество прямых, которые можно провести через различные пары этих точек, можно либо перечислить все возможные пары точек, либо использовать комбинаторный подход.

При перечислении получаем следующие прямые: AB, AC, AD, BC, BD, CD. Всего получается 6 прямых.

С точки зрения комбинаторики, количество прямых равно числу сочетаний из 4 элементов по 2, поскольку каждая прямая однозначно определяется двумя точками. Формула для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае, количество точек $n=4$, и для проведения прямой мы выбираем $k=2$ точки:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$

Ответ: 6 прямых.

б) Для пяти точек, расположенных так, что никакие три из них не лежат на одной прямой, количество прямых, которые можно провести через них, также вычисляется с помощью формулы числа сочетаний. В этом случае $n=5$ и $k=2$.

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

Можно провести 10 различных прямых. На рисунке ниже изображены 5 точек и все 10 прямых, проходящих через них.

Ответ: 10 прямых.

в) Для шести точек, никакие три из которых не являются коллинеарными, количество прямых, которые можно провести через них, вычисляется аналогично. Здесь $n=6$ и $k=2$.

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$

Следовательно, можно провести 15 различных прямых. На рисунке показаны 6 точек и 15 прямых.

Ответ: 15 прямых.

1.5. Сколько прямых изображено на рисунке 1.5? Сколько у них точек попарных пересечений?

а)

б)

Рис. 1.5

а) На рисунке а) изображена фигура, которая образована 5 прямыми линиями. Эта фигура является частным случаем пентаграммы.

Чтобы найти количество точек попарных пересечений, можно посчитать их непосредственно на рисунке. Мы видим 5 точек пересечения, которые образуют вершины внутреннего пятиугольника, и 5 точек пересечения, образующих внешние «вершины» звезды. Всего получается 10 точек пересечения.

Также можно применить комбинаторную формулу. Если $n$ прямых расположены в так называемом общем положении (то есть никакие две прямые не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке), то число точек их попарных пересечений равно числу сочетаний из $n$ по 2:

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

В данном случае $n=5$. Визуальный анализ показывает, что прямые на рисунке находятся в общем положении. Следовательно, число точек пересечения равно:

$C_5^2 = \frac{5 \cdot (5-1)}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$

Ответ: 5 прямых, 10 точек пересечения.

б) На рисунке б) изображена фигура, которая образована 6 прямыми линиями.

Для нахождения числа точек пересечения можно посчитать их напрямую на исходном рисунке. В центре фигуры есть одна точка, где пересекаются сразу три прямые. Вокруг центра расположены 6 точек, которые образуют вершины внутреннего шестиугольника. И еще 6 точек образуют внешние вершины фигуры. Итого: $1 + 6 + 6 = 13$ точек пересечения.

Другой способ — использовать формулу для максимального числа пересечений и внести поправку. Максимальное число точек пересечения для $n=6$ прямых (в общем положении) равно:

$C_6^2 = \frac{6 \cdot (6-1)}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$

Однако на рисунке б) прямые не находятся в общем положении, так как три из них (горизонтальная, почти вертикальная и одна из наклонных) пересекаются в одной центральной точке. Три прямые, расположенные в общем положении, дали бы $C_3^2 = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$ точки пересечения. В нашем же случае они дают только одну общую точку. Таким образом, мы «теряем» $3 - 1 = 2$ точки пересечения по сравнению с максимально возможным количеством.

Итоговое число точек пересечения равно: $15 - 2 = 13$.

Ответ: 6 прямых, 13 точек пересечения.

1.6. На клетчатой бумаге изобразите прямую $AB$ и точку $C$, как показано на рисунке 1.6. Через точку $C$ проведите прямую, параллельную прямой $AB$.

a)

б)

в)

Рис. 1.6

Чтобы построить прямую, параллельную данной прямой AB, через точку C на клетчатой бумаге, можно использовать метод параллельного переноса или метод "углового коэффициента" по клеткам. Суть метода заключается в том, чтобы определить, на сколько клеток по горизонтали и по вертикали нужно сместиться, чтобы попасть из одной точки прямой AB в другую (например, из A в B), а затем повторить этот же сдвиг, начиная от точки C.

а) В данном случае прямая AB является горизонтальной, она идет точно по линии сетки. Расстояние от прямой AB до верхней границы сетки составляет 2 клетки. Чтобы провести параллельную прямую через точку C, нужно также провести горизонтальную прямую, которая будет проходить через точку C. Точка C находится на расстоянии 2 клеток от нижней границы сетки. Новая прямая будет параллельна прямой AB и также будет идти вдоль линии сетки. Угловой коэффициент горизонтальной прямой равен $k=0$.

Ответ:

б) Чтобы переместиться из точки A в точку B, необходимо сдвинуться на 3 клетки вправо и 3 клетки вверх. Это означает, что угловой коэффициент прямой AB равен $k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{3}{3} = 1$. Чтобы построить параллельную прямую, мы должны отложить такой же вектор (сдвиг) от точки C. Для этого можно использовать либо полный сдвиг (3 клетки вправо и 3 вверх), либо упрощенный (1 клетка вправо и 1 клетка вверх). Начиная от точки C, отсчитываем 1 клетку вправо и 1 клетку вверх, чтобы найти новую точку. Также можно отсчитать 1 клетку влево и 1 клетку вниз для получения еще одной точки. Соединив эти точки, получим искомую прямую, параллельную AB.

Ответ:

в) Для перемещения из точки A в точку B необходимо сдвинуться на 4 клетки вправо и на 2 клетки вверх. Угловой коэффициент прямой AB равен $k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Для построения параллельной прямой через точку C, мы должны применить тот же самый сдвиг. Удобнее использовать упрощенный сдвиг: 2 клетки вправо и 1 клетка вверх. Начиная от точки C, отсчитываем 2 клетки вправо и 1 клетку вверх, отмечаем новую точку. Затем от C отсчитываем 2 клетки влево и 1 клетку вниз, отмечаем еще одну точку. Проводим прямую через эти точки и точку C. Эта прямая будет параллельна AB.

Ответ: