Страница 7 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

По аналогии с рисунками 1.2, 1.3 изобразите различные случаи взаимного расположения трех прямых.

Существует четыре различных случая взаимного расположения трех прямых на плоскости. Рассмотрим каждый из них.

Случай 1: Все три прямые параллельны друг другу

В этом случае прямые не имеют общих точек. Число точек пересечения равно нулю. Такое расположение обозначается как $a \parallel b \parallel c$.

Ответ: Все три прямые параллельны, нет точек пересечения.

Случай 2: Две прямые параллельны, а третья их пересекает

В этом случае две прямые (например, $a$ и $b$) параллельны между собой ($a \parallel b$), а третья прямая ($c$) пересекает каждую из них. В результате образуются две точки пересечения.

Ответ: Две прямые параллельны, третья их пересекает; две точки пересечения.

Случай 3: Все три прямые пересекаются в одной точке

В этом случае все три прямые проходят через одну общую точку. Такие прямые называются конкурентными. Имеется только одна точка пересечения.

Ответ: Все три прямые пересекаются в одной точке; одна точка пересечения.

Случай 4: Прямые попарно пересекаются в трех различных точках

В этом, наиболее общем, случае никакие две прямые не параллельны и все три не проходят через одну точку. Каждая пара прямых имеет свою уникальную точку пересечения. Всего образуется три точки пересечения, которые являются вершинами треугольника.

Ответ: Прямые пересекаются попарно в трех разных точках; три точки пересечения.

1. Идеализацией каких объектов является точка?

2. Как определял точку Евклид?

3. Как изображаются точки?

4. Как обозначаются точки?

5. Идеализацией каких объектов является прямая?

6. Как определял прямую Евклид?

7. Как изображаются прямые?

8. Как обозначаются прямые?

9. В чем заключается одно из основных свойств прямой?

10. Как могут располагаться относительно друг друга точка и прямая?

11. Сколько общих точек могут иметь две прямые?

12. Идеализацией каких объектов является плоскость?

13. Какие две прямые называются пересекающимися?

14. Какие две прямые называются параллельными?

15. Как могут располагаться относительно друг друга две прямые на плоскости?

16. В чем состоит аксиоматический метод построения геометрии?

17. Что такое аксиома?

18. Что такое теорема?

19. Что такое доказательство?

1. Идеализацией каких объектов является точка?

Точка в геометрии — это абстрактный объект, не имеющий никаких измеримых характеристик: ни длины, ни ширины, ни площади. Она является идеализацией реальных физических объектов, размеры которых в данном контексте настолько малы, что ими можно пренебречь. Например, точка может представлять собой след от укола иглой на бумаге, крошку песка, отдельную звезду на ночном небе при наблюдении невооруженным глазом или город на географической карте мелкого масштаба.
Ответ: Точка является идеализацией очень маленьких физических объектов, размерами которых можно пренебречь.

2. Как определял точку Евклид?

В своем знаменитом труде «Начала» древнегреческий математик Евклид дал следующее определение точки: «Точка есть то, что не имеет частей». Это определение подчеркивает фундаментальное свойство точки — её неделимость и отсутствие размеров.
Ответ: Евклид определял точку как «то, что не имеет частей».

3. Как изображаются точки?

Поскольку точка является абстрактным объектом без размеров, её невозможно увидеть в прямом смысле. На чертежах (на бумаге, доске или экране компьютера) точки условно изображают в виде небольшого кружка, следа от остро отточенного карандаша или как место пересечения двух тонких линий.
Ответ: Точки изображаются в виде маленьких кружков или как пересечение двух линий.

4. Как обозначаются точки?

В геометрии принято обозначать точки большими (прописными) буквами латинского алфавита. Например, точка $A$, точка $B$, точка $C$. Иногда для обозначения могут использоваться цифры или буквы с индексами, например, $A_1, A_2$.
Ответ: Точки обозначаются прописными латинскими буквами ($A, B, C, ...$).

5. Идеализацией каких объектов является прямая?

Прямая — это идеализация тонких, прямых предметов, которые мы можем представить себе бесконечно простирающимися в обе стороны. Примерами таких объектов из реального мира могут служить туго натянутая струна, луч лазера в однородной среде или ровный край длинной линейки. Геометрическая прямая имеет только одно измерение — длину, но не имеет ни ширины, ни толщины.
Ответ: Прямая является идеализацией тонких, ровных и бесконечно длинных в обе стороны объектов, таких как натянутая нить или луч света.

6. Как определял прямую Евклид?

Евклид определял прямую линию как «длину без ширины». Он также давал более образное описание: «Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней». В современной геометрии понятия «точка» и «прямая» считаются основными, неопределяемыми понятиями.
Ответ: Евклид определял прямую как «длину без ширины».

7. Как изображаются прямые?

Прямая бесконечна, поэтому на чертеже невозможно изобразить её полностью. Изображают лишь часть прямой в виде отрезка линии, проведенного с помощью линейки. При этом всегда подразумевается, что эта линия неограниченно продолжается в обе стороны.
Ответ: Прямые изображаются в виде конечного отрезка линии, проведенного по линейке, который мысленно продолжается в обе стороны до бесконечности.

8. Как обозначаются прямые?

Существует два основных способа обозначения прямых:
1. Одной строчной (маленькой) буквой латинского алфавита, например, прямая $a$, прямая $b$.
2. Двумя прописными (большими) латинскими буквами, обозначающими любые две различные точки, лежащие на этой прямой, например, прямая $AB$.
Ответ: Прямые обозначаются одной строчной латинской буквой ($a$) или двумя прописными латинскими буквами ($AB$).

9. В чем заключается одно из основных свойств прямой?

Одно из фундаментальных свойств прямой, являющееся аксиомой геометрии, гласит: через любые две различные точки проходит прямая, и притом только одна. Это свойство гарантирует единственность прямой, заданной двумя точками.
Ответ: Одно из основных свойств прямой заключается в том, что через любые две точки можно провести единственную прямую.

10. Как могут располагаться относительно друг друга точка и прямая?

Существует всего два варианта взаимного расположения точки и прямой:
1. Точка лежит на прямой (или принадлежит прямой). В этом случае говорят, что прямая проходит через точку. Это записывается как $A \in a$.
2. Точка не лежит на прямой (не принадлежит прямой). Это записывается как $B \notin a$.
Ответ: Точка может либо лежать на прямой ($A \in a$), либо не лежать на ней ($B \notin a$).

11. Сколько общих точек могут иметь две прямые?

Для двух различных прямых, лежащих в одной плоскости, возможны два случая:
1. Прямые имеют одну общую точку. Такие прямые называются пересекающимися.
2. Прямые не имеют ни одной общей точки. Такие прямые называются параллельными.
Если же прямые не являются различными (т.е. совпадают), то они имеют бесконечно много общих точек.
Ответ: Две различные прямые могут иметь либо одну общую точку (пересекающиеся), либо ни одной (параллельные).

12. Идеализацией каких объектов является плоскость?

Плоскость — это идеализация совершенно ровной, гладкой поверхности, которая бесконечно простирается во всех направлениях. Примерами из реального мира могут служить поверхность стола, поверхность спокойной воды, школьная доска или лист бумаги. Плоскость имеет два измерения (длину и ширину), но не имеет толщины.
Ответ: Плоскость является идеализацией ровных, гладких и бесконечных поверхностей, таких как поверхность стола или гладь озера.

13. Какие две прямые называются пересекающимися?

Две прямые на плоскости называются пересекающимися, если они имеют ровно одну общую точку. Эта общая точка называется точкой пересечения данных прямых.
Ответ: Пересекающимися называются две прямые, имеющие одну общую точку.

14. Какие две прямые называются параллельными?

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, то есть не имеют ни одной общей точки. Для обозначения параллельности прямых $a$ и $b$ используется знак $a \parallel b$.
Ответ: Параллельными называются две прямые на плоскости, которые не имеют общих точек.

15. Как могут располагаться относительно друг друга две прямые на плоскости?

Существует три варианта взаимного расположения двух прямых на плоскости:
1. Прямые пересекаются — имеют ровно одну общую точку.
2. Прямые параллельны — не имеют общих точек.
3. Прямые совпадают — имеют бесконечно много общих точек (фактически это одна и та же прямая).
Ответ: Две прямые на плоскости могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.

16. В чем состоит аксиоматический метод построения геометрии?

Аксиоматический метод — это способ построения научной теории, при котором вначале вводятся несколько основных, неопределяемых понятий (в геометрии это точка, прямая, плоскость), и формулируется система аксиом — утверждений об этих понятиях, принимаемых без доказательства. Затем все последующие понятия вводятся через определения, а все утверждения (теоремы) доказываются путем логических выводов из аксиом и ранее доказанных теорем.
Ответ: Аксиоматический метод состоит в том, чтобы положить в основу теории неопределяемые понятия и аксиомы (утверждения, принимаемые без доказательств), а все остальные положения вывести из них логически.

17. Что такое аксиома?

Аксиома — это исходное утверждение в какой-либо научной теории, которое принимается как истинное без доказательств и служит фундаментом для построения всей теории. Аксиомы выбираются таким образом, чтобы они были достаточно простыми и интуитивно очевидными. Пример аксиомы: «Через любые две точки можно провести единственную прямую».
Ответ: Аксиома — это исходное утверждение, принимаемое без доказательства.

18. Что такое теорема?

Теорема — это математическое утверждение, истинность которого устанавливается посредством доказательства. Доказательство теоремы опирается на аксиомы и ранее доказанные теоремы. Примерами известных теорем являются теорема Пифагора или теорема о сумме углов треугольника.
Ответ: Теорема — это утверждение, справедливость которого доказывается на основе аксиом и ранее доказанных теорем.

19. Что такое доказательство?

Доказательство — это цепочка логических рассуждений, которая строго обосновывает истинность какого-либо математического утверждения (теоремы). Каждое звено в этой цепочке должно опираться либо на аксиомы, либо на определения, либо на ранее доказанные факты, и каждый шаг должен быть логически безупречен.
Ответ: Доказательство — это логическое рассуждение, устанавливающее истинность теоремы.

1.1. Изобразите прямую и точки, принадлежащие этой прямой и не принадлежащие ей.

Чтобы изобразить прямую и точки, принадлежащие и не принадлежащие ей, начертим прямую линию. В геометрии прямые принято обозначать строчными (маленькими) латинскими буквами. Обозначим нашу прямую буквой $a$.

Далее, отметим на этой прямой две точки и обозначим их заглавными латинскими буквами, например, $A$ и $B$. Точки, которые лежат на прямой, называются принадлежащими этой прямой.

Затем отметим две точки вне прямой. Обозначим их $C$ и $D$. Эти точки не принадлежат прямой $a$.

Графическое представление будет выглядеть следующим образом:

Для записи принадлежности точки прямой используется математический символ $\in$. Утверждение «точка $A$ принадлежит прямой $a$» записывается как $A \in a$.

Для записи того, что точка не принадлежит прямой, используется символ $\notin$. Утверждение «точка $C$ не принадлежит прямой $a$» записывается как $C \notin a$.

Таким образом, для нашего рисунка верны следующие записи:
$A \in a$
$B \in a$
$C \notin a$
$D \notin a$

Ответ: на рисунке выше изображена прямая $a$, точки $A$ и $B$, которые принадлежат этой прямой ($A \in a$, $B \in a$), и точки $C$ и $D$, которые ей не принадлежат ($C \notin a$, $D \notin a$).

1.2. Пусть точки $A$, $B$, $C$ принадлежат одной прямой и точки $B$, $C$, $D$ принадлежат одной прямой. Что можно сказать о всех точках $A$, $B$, $C$, $D$?

Для решения этой задачи воспользуемся одной из основных аксиом планиметрии: через любые две различные точки на плоскости проходит одна и только одна прямая.

Из условия задачи мы знаем, что точки $A$, $B$ и $C$ принадлежат одной прямой. Давайте назовем эту прямую $l_1$.

Также нам дано, что точки $B$, $C$ и $D$ принадлежат одной прямой. Назовем эту вторую прямую $l_2$.

Обратим внимание на то, что точки $B$ и $C$ являются общими для обеих прямых.

Рассмотрим два возможных варианта:

1. Точки $B$ и $C$ — это различные точки ($B \neq C$).
Поскольку через две различные точки ($B$ и $C$) может проходить только одна единственная прямая, то прямые $l_1$ и $l_2$ должны совпадать. То есть, это одна и та же прямая.
Так как точка $A$ лежит на прямой $l_1$, а точка $D$ — на прямой $l_2$, и при этом $l_1$ и $l_2$ — это одна и та же прямая, то все четыре точки ($A$, $B$, $C$ и $D$) лежат на этой единственной прямой.

2. Точки $B$ и $C$ — это одна и та же точка ($B = C$).
В этом случае условие гласит, что точки $A$ и $B$ лежат на одной прямой, и точки $B$ (она же $C$) и $D$ лежат на одной прямой. Через одну точку $B$ может проходить бесконечное множество прямых. Прямая, проходящая через $A$ и $B$, может не совпадать с прямой, проходящей через $B$ и $D$. Однако, в стандартной постановке геометрических задач, если точки обозначаются разными буквами, они предполагаются различными. Поэтому этот случай является скорее теоретическим исключением, а не основным решением.

Исходя из стандартной трактовки условия, мы приходим к выводу, что все четыре точки принадлежат одной прямой.

Ответ: Все четыре точки $A$, $B$, $C$ и $D$ принадлежат одной и той же прямой.

1.3. Изобразите три точки, не принадлежащие одной прямой. Проведите прямые, проходящие через различные пары из трех данных точек. Сколько всего таких прямых?

Для решения задачи сначала изобразим три точки, которые не лежат на одной прямой. Обозначим их как A, B и C. Затем, согласно аксиоме планиметрии, через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну. Проведем прямые через все возможные пары точек: через A и B, через B и C, и через A и C.

На рисунке видно, что в результате мы получили три прямые, образующие треугольник.

Подсчитать количество прямых можно также с помощью комбинаторики. Задача сводится к нахождению количества способов выбрать 2 точки из 3 данных, так как любая пара точек однозначно определяет прямую. Это число сочетаний из 3 по 2.

Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество элементов в каждой выборке.

В нашем случае $n=3$ (три точки) и $k=2$ (для проведения одной прямой нужны две точки).

Подставим значения в формулу: $C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot 1} = 3$.

Таким образом, можно провести ровно 3 прямые.

Ответ: 3 прямые.