Страница 14 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

2.11. На клетчатой бумаге изобразите отрезки, как показано на рисунке 2.11. Изобразите какой-нибудь отрезок, равный сумме отрезков $AB$ и $CD$.

а)

б)

в)

Рис. 2.11

а) На рисунке а) изображены два горизонтальных отрезка.

Длина отрезка $AB$ равна 3 клеткам. Длина отрезка $CD$ равна 2 клеткам. Сумма длин отрезков $AB$ и $CD$ равна $3 + 2 = 5$ клеток. Чтобы изобразить отрезок, равный сумме длин отрезков $AB$ и $CD$, нужно начертить отрезок длиной 5 клеток.

Ответ:

б) На рисунке б) изображены горизонтальный и вертикальный отрезки.

Длина отрезка $AB$ равна 2 клеткам. Длина отрезка $CD$ также равна 2 клеткам. Сумма длин отрезков $AB$ и $CD$ равна $2 + 2 = 4$ клетки. Чтобы изобразить искомый отрезок, нужно начертить отрезок длиной 4 клетки.

Ответ:

в) На рисунке в) изображены два наклонных отрезка. Для нахождения их длин воспользуемся теоремой Пифагора.

Отрезок $AB$ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 клеткам. Его длина равна $L_{AB} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ клеток. Отрезок $CD$ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 1 клетке. Его длина равна $L_{CD} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ клеток. Сумма длин отрезков $AB$ и $CD$ равна $L = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ клеток. Отрезок такой длины можно построить как диагональ квадрата со стороной 3 клетки.

Ответ:

2.12. На клетчатой бумаге изобразите отрезки, как показано на рисунке 2.12. Изобразите какой-нибудь отрезок, равный разности отрезков $AB$ и $CD$.

a)

б)

Рис. 2.12

а) Для решения задачи примем длину стороны одной клетки за единицу. Длина горизонтального отрезка AB, занимающего 4 клетки, равна 4 единицам. Длина горизонтального отрезка CD, занимающего 2 клетки, равна 2 единицам. Разность длин этих отрезков составляет $AB - CD = 4 - 2 = 2$ единицы. Таким образом, искомый отрезок должен иметь длину 2 единицы. На рисунке ниже, помимо исходных отрезков, синим цветом изображен отрезок MN, равный разности отрезков AB и CD.

Ответ: Искомый отрезок — это любой отрезок, длина которого равна 2 клеткам.

б) Для нахождения длин наклонных отрезков AB и CD используем теорему Пифагора. Примем сторону клетки за 1 единицу. Для отрезка AB мы можем построить прямоугольный треугольник, катеты которого проходят по линиям сетки. Длины катетов равны 3 и 3. Тогда длина гипотенузы AB равна $AB = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$. Аналогично для отрезка CD катеты соответствующего прямоугольного треугольника равны 2 и 2. Его длина равна $CD = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Разность длин отрезков составляет $AB - CD = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$. Отрезок длиной $\sqrt{2}$ представляет собой диагональ квадрата со стороной 1. На рисунке ниже синим цветом изображен отрезок PQ, равный искомой разности.

Ответ: Искомый отрезок — это диагональ одной клетки.

2.13. На прямой отмечены:

а) 3 точки;

б) 4 точки;

в) 5 точек;

г) $n$ точек.

Сколько имеется лучей, лежащих на данной прямой, с вершинами в этих точках?

а) Луч — это часть прямой, которая имеет начало в некоторой точке (вершине) и бесконечно продолжается в одном направлении. На прямой из каждой точки можно провести ровно два луча в противоположных направлениях.

Если на прямой отмечены 3 точки, то каждая из этих 3 точек может быть вершиной для двух лучей. Следовательно, общее количество лучей равно произведению количества точек на количество лучей, исходящих из одной точки: $3 \times 2 = 6$.
Ответ: 6

б) Аналогично предыдущему пункту, из каждой точки на прямой можно построить два луча.

Если на прямой отмечены 4 точки, то общее количество лучей с вершинами в этих точках будет: $4 \times 2 = 8$.
Ответ: 8

в) По тому же принципу, для 5 точек на прямой из каждой можно провести по два луча.

Общее количество лучей для 5 точек равно: $5 \times 2 = 10$.
Ответ: 10

г) Обобщим полученные результаты. Пусть на прямой отмечено $n$ точек.

Каждая из этих $n$ точек может служить началом (вершиной) для двух лучей, направленных в противоположные стороны вдоль прямой. Таким образом, общее количество лучей, которые можно построить, равно: $n \times 2 = 2n$.
Ответ: $2n$

2.14. На прямой отмечены:

а) 3 точки;

б) 4 точки;

в) 5 точек;

г) $n$ точек. Сколько имеется отрезков с концами в этих точках?

Чтобы найти количество отрезков, которые можно построить между заданным количеством точек на прямой, нужно понять, что каждый отрезок определяется двумя точками. Таким образом, задача сводится к нахождению числа сочетаний из $n$ точек по 2, где $n$ — общее количество точек. Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$ выглядит так:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $k=2$, так как отрезок имеет два конца. Формула упрощается до:

$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$

Используем эту формулу для решения каждого подпункта.

а) Дано 3 точки на прямой. Обозначим их A, B и C.

Можно составить следующие отрезки: AB, AC, BC. Всего 3 отрезка.

По формуле для $n=3$:

$C_3^2 = \frac{3(3-1)}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$

Ответ: 3

б) Дано 4 точки на прямой. Обозначим их A, B, C и D.

Посчитаем количество отрезков. Из точки A можно провести отрезки к 3 другим точкам (AB, AC, AD). Из точки B можно провести 2 новых отрезка (BC, BD), так как отрезок BA уже посчитан как AB. Из точки C можно провести 1 новый отрезок (CD). Всего: $3 + 2 + 1 = 6$ отрезков.

По формуле для $n=4$:

$C_4^2 = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$

Ответ: 6

в) Дано 5 точек на прямой.

Рассуждая аналогично предыдущему пункту: из первой точки можно провести 4 отрезка, из второй — 3 новых, из третьей — 2 новых, из четвертой — 1 новый. Всего: $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ отрезков.

По формуле для $n=5$:

$C_5^2 = \frac{5(5-1)}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$

Ответ: 10

г) Дано $n$ точек на прямой.

Для нахождения количества отрезков нужно выбрать 2 точки из $n$ имеющихся. Порядок выбора точек не имеет значения (отрезок AB — это тот же отрезок, что и BA). Это задача на нахождение числа сочетаний из $n$ элементов по 2.

Первую точку для отрезка можно выбрать $n$ способами. Вторую точку можно выбрать $(n-1)$ способами из оставшихся. Получается $n(n-1)$ упорядоченных пар. Поскольку порядок в паре не важен, мы делим это число на 2, чтобы не считать каждый отрезок дважды.

Количество отрезков равно: $\frac{n(n-1)}{2}$

Это соответствует формуле числа сочетаний:

$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$

Ответ: $\frac{n(n-1)}{2}$

2.15. Сравните отрезки $AB$ и $CD$, изображенные на рисунке 2.13.

a)

б)

в)

Рис. 2.13

а)

В этом задании требуется сравнить длины отрезков AB и CD. На рисунке изображена классическая оптическая иллюзия Мюллера-Лайера. Визуально кажется, что отрезок CD, у которого наконечники на концах направлены внутрь («хвосты-вилки»), длиннее отрезка AB, у которого наконечники направлены наружу («хвосты-стрелки»). Этот обман зрения возникает из-за того, что мозг интерпретирует наконечники как сигналы о перспективе: наконечники, направленные внутрь, ассоциируются с дальним углом комнаты, а направленные наружу — с ближним углом здания. Это заставляет нас воспринимать первый отрезок как более удаленный и, следовательно, больший по размеру. Однако, если измерить отрезки с помощью линейки, можно убедиться, что их длины на самом деле одинаковы.

Ответ: $AB = CD$.

б)

На этом рисунке изображена иллюзия, связанная с восприятием перспективы, вариант иллюзии Понцо. Отрезки AB и CD являются верхними (меньшими) основаниями двух одинаковых трапеций. Из-за сходящихся боковых сторон трапеции создается впечатление глубины пространства, как уходящие вдаль рельсы. Отрезок CD, находящийся выше и в более «узком» контексте сходящихся линий, кажется нам более удаленным. В результате мозг пытается скомпенсировать перспективное искажение и воспринимает «дальний» отрезок CD как более длинный, чем отрезок AB. Тем не менее, фактические длины отрезков AB и CD равны, так как они являются основаниями идентичных фигур.

Ответ: $AB = CD$.

в)

Здесь представлена вертикально-горизонтальная иллюзия. Нам нужно сравнить длину горизонтального отрезка AB и вертикального отрезка CD. Из-за особенностей зрительного восприятия человека, вертикальные линии кажутся длиннее, чем горизонтальные линии той же самой длины. Одна из теорий объясняет это тем, что поле нашего зрения более вытянуто по горизонтали, и для оценки вертикального размера требуется больше движений глаз, чем для горизонтального. Несмотря на то, что отрезок CD кажется заметно длиннее отрезка AB, их реальные длины равны.

Ответ: $AB = CD$.