Номер 2.14, страница 14 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

2.14. На прямой отмечены:

а) 3 точки;

б) 4 точки;

в) 5 точек;

г) $n$ точек. Сколько имеется отрезков с концами в этих точках?

Чтобы найти количество отрезков, которые можно построить между заданным количеством точек на прямой, нужно понять, что каждый отрезок определяется двумя точками. Таким образом, задача сводится к нахождению числа сочетаний из $n$ точек по 2, где $n$ — общее количество точек. Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$ выглядит так:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $k=2$, так как отрезок имеет два конца. Формула упрощается до:

$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$

Используем эту формулу для решения каждого подпункта.

а) Дано 3 точки на прямой. Обозначим их A, B и C.

Можно составить следующие отрезки: AB, AC, BC. Всего 3 отрезка.

По формуле для $n=3$:

$C_3^2 = \frac{3(3-1)}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$

Ответ: 3

б) Дано 4 точки на прямой. Обозначим их A, B, C и D.

Посчитаем количество отрезков. Из точки A можно провести отрезки к 3 другим точкам (AB, AC, AD). Из точки B можно провести 2 новых отрезка (BC, BD), так как отрезок BA уже посчитан как AB. Из точки C можно провести 1 новый отрезок (CD). Всего: $3 + 2 + 1 = 6$ отрезков.

По формуле для $n=4$:

$C_4^2 = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$

Ответ: 6

в) Дано 5 точек на прямой.

Рассуждая аналогично предыдущему пункту: из первой точки можно провести 4 отрезка, из второй — 3 новых, из третьей — 2 новых, из четвертой — 1 новый. Всего: $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ отрезков.

По формуле для $n=5$:

$C_5^2 = \frac{5(5-1)}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$

Ответ: 10

г) Дано $n$ точек на прямой.

Для нахождения количества отрезков нужно выбрать 2 точки из $n$ имеющихся. Порядок выбора точек не имеет значения (отрезок AB — это тот же отрезок, что и BA). Это задача на нахождение числа сочетаний из $n$ элементов по 2.

Первую точку для отрезка можно выбрать $n$ способами. Вторую точку можно выбрать $(n-1)$ способами из оставшихся. Получается $n(n-1)$ упорядоченных пар. Поскольку порядок в паре не важен, мы делим это число на 2, чтобы не считать каждый отрезок дважды.

Количество отрезков равно: $\frac{n(n-1)}{2}$

Это соответствует формуле числа сочетаний:

$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$

Ответ: $\frac{n(n-1)}{2}$