Номер 2.9, страница 13 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

2.9. На клетчатой бумаге изобразите отрезки, как показано на рисунке 2.9. Укажите точки, делящие отрезки $AB$, $CD$, $EF$ на три равные части.

Для того чтобы разделить отрезок на три равные части, необходимо найти две точки, которые будут делить его в отношении 1:2 и 2:1. Если отрезок задан на клетчатой бумаге и его концы $P_1(x_1, y_1)$ и $P_2(x_2, y_2)$ находятся в узлах сетки, то координаты точек деления $M_1$ и $M_2$ можно найти по формулам:

$M_1 = \left(x_1 + \frac{1}{3}(x_2 - x_1), y_1 + \frac{1}{3}(y_2 - y_1)\right)$

$M_2 = \left(x_1 + \frac{2}{3}(x_2 - x_1), y_1 + \frac{2}{3}(y_2 - y_1)\right)$

Геометрически это означает, что мы находим вектор $\vec{P_1P_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$, делим его на три равные части, получая вектор "шага" $\vec{v} = \frac{1}{3}\vec{P_1P_2}$, а затем последовательно откладываем этот вектор от начальной точки $P_1$. Точка $M_1$ находится на расстоянии $\vec{v}$ от $P_1$, а точка $M_2$ — на расстоянии $\vec{v}$ от $M_1$.

Поскольку исходный рисунок 2.9 не предоставлен, мы изобразим три произвольных отрезка AB, CD, EF, концы которых лежат в узлах сетки, и найдем для них точки деления.

Отрезок AB
Введем систему координат, где одна клетка равна единице. Пусть координаты точек $A=(1, 1)$ и $B=(7, 4)$.
Найдем вектор $\vec{AB}$: $\vec{AB} = (7-1, 4-1) = (6, 3)$.
Так как компоненты вектора (6 и 3) делятся на 3, точки деления будут лежать в узлах сетки.
Вектор-шаг равен $\vec{v}_{AB} = \frac{1}{3}\vec{AB} = (\frac{6}{3}, \frac{3}{3}) = (2, 1)$.
Координаты первой точки деления $M_1$: $A + \vec{v}_{AB} = (1+2, 1+1) = (3, 2)$.
Координаты второй точки деления $M_2$: $M_1 + \vec{v}_{AB} = (3+2, 2+1) = (5, 3)$.
Проверка: $M_2 + \vec{v}_{AB} = (5+2, 3+1) = (7, 4)$, что совпадает с координатами точки $B$.
Ответ: Точки, делящие отрезок AB на три равные части, — это точки $M_1(3, 2)$ и $M_2(5, 3)$.

Отрезок CD
Пусть координаты точек $C=(2, 9)$ и $D=(2, 3)$.
Найдем вектор $\vec{CD}$: $\vec{CD} = (2-2, 3-9) = (0, -6)$.
Компоненты вектора (0 и -6) делятся на 3.
Вектор-шаг равен $\vec{v}_{CD} = \frac{1}{3}\vec{CD} = (\frac{0}{3}, \frac{-6}{3}) = (0, -2)$.
Координаты первой точки деления $K_1$: $C + \vec{v}_{CD} = (2+0, 9-2) = (2, 7)$.
Координаты второй точки деления $K_2$: $K_1 + \vec{v}_{CD} = (2+0, 7-2) = (2, 5)$.
Проверка: $K_2 + \vec{v}_{CD} = (2+0, 5-2) = (2, 3)$, что совпадает с координатами точки $D$.
Ответ: Точки, делящие отрезок CD на три равные части, — это точки $K_1(2, 7)$ и $K_2(2, 5)$.

Отрезок EF
Пусть координаты точек $E=(11, 8)$ и $F=(2, 2)$.
Найдем вектор $\vec{EF}$: $\vec{EF} = (2-11, 2-8) = (-9, -6)$.
Компоненты вектора (-9 и -6) делятся на 3.
Вектор-шаг равен $\vec{v}_{EF} = \frac{1}{3}\vec{EF} = (\frac{-9}{3}, \frac{-6}{3}) = (-3, -2)$.
Координаты первой точки деления $L_1$: $E + \vec{v}_{EF} = (11-3, 8-2) = (8, 6)$.
Координаты второй точки деления $L_2$: $L_1 + \vec{v}_{EF} = (8-3, 6-2) = (5, 4)$.
Проверка: $L_2 + \vec{v}_{EF} = (5-3, 4-2) = (2, 2)$, что совпадает с координатами точки $F$.
Ответ: Точки, делящие отрезок EF на три равные части, — это точки $L_1(8, 6)$ и $L_2(5, 4)$.