Номер 2.5, страница 13 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

2.5. На клетчатой бумаге изобразите луч $CE$ и отрезок $AB$, как показано на рисунке 2.7. От вершины $C$ луча $CE$ отложите отрезок $CD$, равный отрезку $AB$.

Поскольку в задаче отсутствует упоминаемый рисунок 2.7, мы решим ее на конкретном примере. Предположим, что на клетчатой бумаге заданы точки со следующими координатами (размер клетки 1x1): A(1, 5), B(3, 1), C(6, 2) и E(7, 4).

Для начала изобразим на клетчатой бумаге отрезок AB и луч CE, исходя из заданных координат.

Шаг 1. Нахождение длины отрезка AB

Чтобы найти длину отрезка на клетчатой бумаге, можно использовать теорему Пифагора. Мысленно построим прямоугольный треугольник, где отрезок AB является гипотенузой, а катеты параллельны линиям сетки.

Смещение по горизонтали (вдоль оси x) между точками A(1, 5) и B(3, 1) составляет $ \Delta x = 3 - 1 = 2 $ клетки.Смещение по вертикали (вдоль оси y) составляет $ \Delta y = 1 - 5 = -4 $ клетки (то есть 4 клетки вниз).

Длина отрезка AB вычисляется по формуле:$ AB = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} $Подставим наши значения:$ AB = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} $.

Шаг 2. Определение направления луча CE

Луч CE начинается в точке C(6, 2) и проходит через точку E(7, 4). Его направление задается вектором $ \vec{CE} $.Смещение по горизонтали для этого вектора: $ \Delta x_c = 7 - 6 = 1 $ клетка.Смещение по вертикали: $ \Delta y_c = 4 - 2 = 2 $ клетки.

Таким образом, направление луча CE — это 1 клетка вправо и 2 клетки вверх от любой точки на луче.

Шаг 3. Построение точки D на луче CE

Нам необходимо найти такую точку D на луче CE, чтобы длина отрезка CD была равна длине отрезка AB. То есть, $ CD = AB = \sqrt{20} $.Поскольку точка D лежит на луче CE, вектор $ \vec{CD} $ должен быть сонаправлен вектору $ \vec{CE} $. Это означает, что $ \vec{CD} $ можно получить, умножив вектор $ \vec{CE} $ на некоторое положительное число $k$: $ \vec{CD} = k \cdot \vec{CE} $.

Сначала найдем длину "базового" отрезка CE:$ |\vec{CE}| = \sqrt{(\Delta x_c)^2 + (\Delta y_c)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} $.

Длина отрезка CD должна быть $ k $ раз больше длины CE: $ CD = k \cdot |\vec{CE}| = k\sqrt{5} $.Приравниваем длины CD и AB:$ k\sqrt{5} = \sqrt{20} $$ k = \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt{4} = 2 $.

Коэффициент $ k=2 $ означает, что отрезок CD должен быть в два раза длиннее отрезка CE. Следовательно, вектор $ \vec{CD} $ в два раза длиннее вектора $ \vec{CE} $:$ \vec{CD} = 2 \cdot \vec{CE} = 2 \cdot (1, 2) = (2, 4) $.

Чтобы найти точку D, нужно от точки C(6, 2) отложить вектор $ \vec{CD} $(2, 4). Это значит, что от точки C нужно сместиться на 2 клетки вправо и на 4 клетки вверх.Координаты точки D: $ D = (6+2, 2+4) = (8, 6) $.

Нанесем точку D на наш рисунок и соединим ее с точкой C.

Ответ: Чтобы отложить от вершины C луча CE отрезок CD, равный отрезку AB, необходимо выполнить следующие действия:1. Определить смещение по клеткам по горизонтали ($ \Delta x $) и вертикали ($ \Delta y $) для отрезка AB и вычислить его длину $ L = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} $.2. Определить смещение по клеткам ($ \Delta x_c, \Delta y_c $) для "направляющего" отрезка луча CE.3. Найти во сколько раз ($ k $) отрезок CD должен быть длиннее отрезка CE, решив уравнение $ k \cdot \sqrt{(\Delta x_c)^2 + (\Delta y_c)^2} = L $.4. Отложить от точки C новый отрезок, смещения по горизонтали и вертикали для которого равны $ k \cdot \Delta x_c $ и $ k \cdot \Delta y_c $ соответственно. Конечная точка этого отрезка и будет искомой точкой D.