Номер 2.4, страница 12 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

2.4. Изобразите на прямой точки $A$, $B$, $C$, $D$ так, чтобы:

a) точка $C$ лежала между точками $A$ и $B$, точка $D$ лежала между точками $B$ и $C$;

Рис. 2.7

б) точка $A$ лежала между точками $B$ и $C$, точка $C$ — между точками $A$ и $D$.

а) Для того чтобы изобразить точки A, B, C, D на прямой согласно заданным условиям, проанализируем их взаимное расположение.
Первое условие: "точка C лежала между точками A и B". Это означает, что точки A и B находятся по разные стороны от точки C. Если расположить точки на числовой оси, их координаты будут удовлетворять одному из двух неравенств: $x_A < x_C < x_B$ или $x_B < x_C < x_A$.
Второе условие: "точка D лежала между точками B и C". Аналогично, это означает, что B и C находятся по разные стороны от D, и для их координат выполняется либо $x_B < x_D < x_C$, либо $x_C < x_D < x_B$.
Рассмотрим один из возможных вариантов. Пусть для первого условия выполняется $x_A < x_C < x_B$. Из этого неравенства следует, что координата C меньше координаты B ($x_C < x_B$).
Теперь рассмотрим второе условие. Поскольку $x_C < x_B$, то для того, чтобы точка D находилась между C и B, ее координата должна быть больше $x_C$ и меньше $x_B$, то есть $x_C < x_D < x_B$.
Объединив неравенства $x_A < x_C$ и $x_C < x_D < x_B$, получаем итоговую последовательность расположения точек на прямой: A, C, D, B.
Проверим: C лежит между A и B? Да. D лежит между B и C? Да.
Существует и второй симметричный вариант решения (B, D, C, A), который также удовлетворяет условиям. Изобразим первый найденный вариант.
Ответ:

б) Проанализируем вторую пару условий.
Первое условие: "точка A лежала между точками B и C". Это означает, что на прямой точки расположены в порядке B, A, C или C, A, B. В терминах координат это $x_B < x_A < x_C$ или $x_C < x_A < x_B$.
Второе условие: "точка C — между точками A и D". Это означает порядок A, C, D или D, C, A, что соответствует неравенствам $x_A < x_C < x_D$ или $x_D < x_C < x_A$.
Рассмотрим один из возможных случаев. Пусть точки расположены в порядке B, A, C, то есть $x_B < x_A < x_C$.
Теперь используем второе условие: C должна быть между A и D. Так как у нас уже есть $x_A < x_C$, то для выполнения этого условия координата D должна быть больше координаты C: $x_A < x_C < x_D$.
Объединяя неравенства $x_B < x_A < x_C$ и $x_A < x_C < x_D$, получаем итоговый порядок координат: $x_B < x_A < x_C < x_D$.
Это соответствует расположению точек на прямой в порядке B, A, C, D.
Проверим: A лежит между B и C? Да. C лежит между A и D? Да.
Другой возможный вариант (исходя из начального порядка C, A, B) — это D, C, A, B. Изобразим первый найденный вариант.
Ответ: