Страница 21 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1. На сколько частей прямая разбивает плоскость?

2. В чем заключается свойство взаимного расположения точек на плоскости относительно данной прямой?

3. Что называется полуплоскостью?

4. В каком случае две точки принадлежат: а) одной полуплоскости; б) разным полуплоскостям относительно данной прямой?

5. Какая фигура называется углом? Что называется вершиной угла? Что называется сторонами угла?

6. Какой угол называется развернутым?

7. Какие углы называются: а) смежными; б) вертикальными?

8. Как обозначаются углы?

1. Прямая, проведенная на плоскости, делит эту плоскость на две части. Эти части называются полуплоскостями. Сама прямая является границей для каждой из этих двух полуплоскостей.

Ответ: прямая разбивает плоскость на 2 части.

2. Свойство взаимного расположения точек на плоскости относительно данной прямой (также известное как аксиома о разбиении плоскости прямой) заключается в следующем: любая прямая $a$ разделяет множество всех точек плоскости, не принадлежащих ей, на два непустых множества (две полуплоскости) таким образом, что:

1) если две точки принадлежат одной и той же полуплоскости, то соединяющий их отрезок не пересекает прямую $a$;

2) если две точки принадлежат разным полуплоскостям, то соединяющий их отрезок пересекает прямую $a$.

Ответ: свойство заключается в том, что прямая делит все точки плоскости, не лежащие на ней, на два множества (полуплоскости), причем отрезок, соединяющий точки из одного множества, не пересекает прямую, а отрезок, соединяющий точки из разных множеств, пересекает прямую.

3. Полуплоскостью называется множество всех точек плоскости, лежащих по одну сторону от некоторой прямой, расположенной в этой плоскости. Сама эта прямая называется границей полуплоскости.

Ответ: полуплоскость — это часть плоскости, расположенная по одну сторону от некоторой прямой.

4.

а) одной полуплоскости; Две точки принадлежат одной полуплоскости относительно данной прямой, если отрезок, соединяющий эти точки, не пересекает данную прямую. Например, точки A и B на рисунке.

Ответ: если отрезок, соединяющий их, не пересекает прямую.

б) разным полуплоскостям относительно данной прямой? Две точки принадлежат разным полуплоскостям относительно данной прямой, если отрезок, соединяющий эти точки, пересекает данную прямую. Например, точки C и D на рисунке.

Ответ: если отрезок, соединяющий их, пересекает прямую.

5. Углом называется геометрическая фигура, которая состоит из точки — вершины угла — и двух различных лучей, исходящих из этой точки. Эти лучи называются сторонами угла.

Ответ: Угол — это фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки. Вершина угла — это общая точка, из которой выходят лучи. Стороны угла — это сами лучи.

6. Развернутым углом называется угол, стороны которого являются дополнительными лучами, то есть лежат на одной прямой. Величина развернутого угла равна 180 градусам ($180^\circ$).

Ответ: развернутый угол — это угол, стороны которого лежат на одной прямой и его величина равна $180^\circ$.

7.

а) смежными; Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами (то есть лежат на одной прямой). Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.

Ответ: смежные углы — это два угла с общей стороной, две другие стороны которых лежат на одной прямой.

б) вертикальными? Вертикальными называются два угла, у которых стороны одного являются продолжением сторон другого. Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых и они равны между собой.

Ответ: вертикальные углы — это пара углов, образованных при пересечении двух прямых, стороны одного из которых являются продолжением сторон другого.

8. Углы обозначаются несколькими способами:

1. С помощью знака угла $\angle$ и трех заглавных латинских букв, обозначающих точки. Буква, обозначающая вершину угла, ставится в середине. Например, $\angle ABC$ или $\angle CBA$ (вершина B).
2. Если из контекста понятно, о каком угле идет речь, его можно обозначить одной заглавной буквой, соответствующей вершине. Например, $\angle B$.
3. С помощью знака угла $\angle$ и маленькой греческой буквы ($\alpha, \beta, \gamma, ...$) или цифры (1, 2, 3, ...), которой помечен угол на чертеже. Например, $\angle \alpha$ или $\angle 1$.
4. Иногда угол обозначают как пару лучей, например, $(h, k)$, где $h$ и $k$ — лучи, образующие угол.

Ответ: углы обозначаются символом $\angle$ с указанием трех точек (вершина в центре), одной точки (вершины), греческой буквы или цифры.

4.1. Изобразите прямую $p$ и точки $A, B, C, D, E, F$ так, что $A, E$ принадлежат данной прямой, остальные ей не принадлежат, причем $D$ и $F$ принадлежат разным полуплоскостям, $B$ и $C$ — одной полуплоскости, и отрезок $BD$ пересекает прямую $p$.

Для решения задачи проанализируем все условия и построим чертеж по шагам.

1. Изобразим прямую $p$. Эта прямая разделит плоскость на две полуплоскости, которые мы условно назовем верхней и нижней.

2. Разместим точки $A$ и $E$. По условию, точки $A$ и $E$ принадлежат прямой $p$. Отметим их на прямой. Запись в виде формулы: $A \in p$, $E \in p$.

3. Проанализируем расположение остальных точек. Точки $B, C, D, F$ не принадлежат прямой $p$. Их нужно расположить в полуплоскостях относительно прямой $p$.

4. Рассмотрим условие "отрезок $BD$ пересекает прямую $p$". Согласно аксиоме о расположении точек относительно прямой, если концы отрезка лежат в разных полуплоскостях, то отрезок пересекает эту прямую. Таким образом, точки $B$ и $D$ должны находиться в разных полуплоскостях.

5. Рассмотрим условие "D и F принадлежат разным полуплоскостям". Это означает, что если точка $D$ находится в одной полуплоскости (например, верхней), то точка $F$ должна находиться в другой (нижней).

6. Рассмотрим условие "B и C — одной полуплоскости". Это означает, что точки $B$ и $C$ должны находиться на одной стороне от прямой $p$.

7. Сведем все условия воедино:

• Давайте поместим точку $D$ в верхнюю полуплоскость.
• Так как отрезок $BD$ пересекает прямую $p$, точка $B$ должна быть в нижней полуплоскости.
• Так как точки $B$ и $C$ лежат в одной полуплоскости, точка $C$ также должна быть в нижней полуплоскости.
• Так как точки $D$ и $F$ лежат в разных полуплоскостях, а $D$ находится в верхней, то точка $F$ должна быть в нижней полуплоскости.

В итоге получаем следующее расположение точек:

• На прямой $p$ лежат точки $A$ и $E$.
• В верхней полуплоскости лежит точка $D$.
• В нижней полуплоскости лежат точки $B$, $C$ и $F$.

Изобразим это на чертеже.

Данный чертеж полностью удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ:

Чертеж, удовлетворяющий всем условиям задачи, представлен выше. Точки $A, E$ лежат на прямой $p$; точка $D$ — в одной полуплоскости относительно $p$, а точки $B, C, F$ — в другой.

4.2. Даны прямая $a$ и четыре точки $A, B, C, D$, не принадлежащие этой прямой. Пересекает ли эту прямую отрезок $AD$, если:

а) отрезки $AB, BC$ и $CD$ пересекают прямую $a$;

б) отрезки $AC$ и $BC$ пересекают прямую $a$, отрезок $BD$ не пересекает;

в) отрезки $AB$ и $CD$ пересекают прямую $a$, отрезок $BC$ не пересекает;

г) отрезки $AB$ и $CD$ не пересекают прямую $a$, отрезок $BC$ пересекает;

д) отрезки $AB, BC$ и $CD$ не пересекают прямую $a$;

е) отрезки $AC, BC$ и $BD$ пересекают прямую? Изобразите данные ситуации.

Для решения задачи будем использовать следующее свойство: отрезок пересекает прямую тогда и только тогда, когда его концы лежат в разных полуплоскостях (по разные стороны) относительно этой прямой. Если концы отрезка лежат в одной полуплоскости (по одну сторону), то отрезок не пересекает прямую.

а) отрезки AB, BC и CD пересекают прямую a;
Рассуждаем последовательно:
1. Отрезок AB пересекает прямую a, значит, точки A и B лежат по разные стороны от прямой a.
2. Отрезок BC пересекает прямую a, значит, точки B и C лежат по разные стороны от прямой a.
3. Отрезок CD пересекает прямую a, значит, точки C и D лежат по разные стороны от прямой a.
Предположим, что точка A находится в одной полуплоскости (назовем ее верхней).
Из (1) следует, что точка B находится в другой (нижней) полуплоскости.
Из (2) следует, что точка C находится в той же полуплоскости, что и A (в верхней), так как она по другую сторону от B.
Из (3) следует, что точка D находится в той же полуплоскости, что и B (в нижней), так как она по другую сторону от C.
Таким образом, точка A находится в верхней полуплоскости, а точка D — в нижней. Это означает, что они лежат по разные стороны от прямой a, и, следовательно, отрезок AD пересекает прямую a.

Ответ: да, пересекает.

б) отрезки AC и BC пересекают прямую a, отрезок BD не пересекает;
1. Отрезок AC пересекает a, значит A и C лежат по разные стороны.
2. Отрезок BC пересекает a, значит B и C лежат по разные стороны.
3. Отрезок BD не пересекает a, значит B и D лежат по одну сторону.
Из (1) и (2) следует, что раз обе точки A и B находятся по другую сторону от C, то они должны находиться по одну сторону друг от друга.
Из (3) мы знаем, что B и D лежат по одну сторону.
Следовательно, точки A, B и D лежат по одну сторону от прямой a. Значит, отрезок AD не пересекает прямую a.

Ответ: нет, не пересекает.

в) отрезки AB и CD пересекают прямую a, отрезок BC не пересекает;
1. AB пересекает a, значит A и B лежат по разные стороны.
2. BC не пересекает a, значит B и C лежат по одну сторону.
3. CD пересекает a, значит C и D лежат по разные стороны.
Предположим, A в верхней полуплоскости.
Из (1) B — в нижней.
Из (2) C — тоже в нижней (по ту же сторону, что и B).
Из (3) D — в верхней (по другую сторону от C).
Получаем, что A и D находятся в одной и той же (верхней) полуплоскости. Следовательно, отрезок AD не пересекает прямую a.

Ответ: нет, не пересекает.

г) отрезки AB и CD не пересекают прямую a, отрезок BC пересекает;
1. AB не пересекает a, значит A и B лежат по одну сторону.
2. BC пересекает a, значит B и C лежат по разные стороны.
3. CD не пересекает a, значит C и D лежат по одну сторону.
Предположим, A в верхней полуплоскости.
Из (1) B — тоже в верхней.
Из (2) C — в нижней (по другую сторону от B).
Из (3) D — тоже в нижней (по ту же сторону, что и C).
Получаем, что A находится в верхней полуплоскости, а D — в нижней. Они лежат по разные стороны от прямой a, значит, отрезок AD пересекает a.

Ответ: да, пересекает.

д) отрезки AB, BC и CD не пересекают прямую a;
1. AB не пересекает a, значит A и B лежат по одну сторону.
2. BC не пересекает a, значит B и C лежат по одну сторону.
3. CD не пересекает a, значит C и D лежат по одну сторону.
Из этих условий следует, что все четыре точки A, B, C, D лежат по одну сторону от прямой a. Следовательно, отрезок AD, соединяющий точки A и D, также не пересекает прямую a.

Ответ: нет, не пересекает.

е) отрезки AC, BC и BD пересекают прямую a?
Предполагая, что это условие, а не вопрос:
1. AC пересекает a, значит A и C лежат по разные стороны.
2. BC пересекает a, значит B и C лежат по разные стороны.
3. BD пересекает a, значит B и D лежат по разные стороны.
Из (1) и (2) следует, что A и B лежат по одну сторону от прямой a (так как обе точки находятся на стороне, противоположной той, где лежит C).
Из (3) следует, что B и D лежат по разные стороны.
Поскольку A и B лежат по одну сторону, а D лежит по другую сторону от B, то A и D также должны лежать по разные стороны от прямой a. Следовательно, отрезок AD пересекает прямую a.

Ответ: да, пересекает.

4.3. Изобразите две пересекающиеся прямые. На сколько частей они разбивают плоскость?

Чтобы определить, на сколько частей две пересекающиеся прямые разбивают плоскость, представим этот процесс пошагово.

1. Сначала проведем на плоскости одну прямую. Эта прямая разделит всю плоскость на две части, которые называются полуплоскостями.

2. Теперь проведем вторую прямую так, чтобы она пересекала первую. Эта вторая прямая, являясь бесконечной, пройдет через обе полуплоскости, созданные первой прямой. Пересекая каждую из двух полуплоскостей, вторая прямая разделит каждую из них еще на две части.

Таким образом, исходные две части (полуплоскости) удваиваются, и в итоге мы получаем $2 \times 2 = 4$ части.

Визуально это можно представить на рисунке:

На рисунке видно, что две пересекающиеся прямые образуют четыре области (угла), которые пронумерованы от 1 до 4. Эти четыре области и есть те части, на которые прямые разбивают плоскость.

Ответ: 4 части.

4.4. Изобразите три прямые, пересекающиеся в одной точке. На сколько частей они разбивают плоскость?

Изобразите три прямые, пересекающиеся в одной точке

Ниже представлено изображение трех прямых, которые пересекаются в одной общей точке. Для наглядности области, на которые прямые делят плоскость, пронумерованы от 1 до 6.

На сколько частей они разбивают плоскость?

Чтобы определить количество частей, на которые три прямые, пересекающиеся в одной точке, разбивают плоскость, можно использовать следующие рассуждения:

1. Пошаговый метод:
- Одна прямая делит плоскость на 2 части.
- Вторая прямая, пересекая первую, делит каждую из этих 2 частей на две, что в сумме дает $2+2=4$ части.
- Третья прямая, проходящая через общую точку пересечения, делит две противолежащие области из четырех существующих, добавляя еще 2 части. Таким образом, общее количество частей становится $4+2=6$.

2. Использование общей формулы:
Существует формула, которая гласит, что $n$ прямых, пересекающихся в одной точке, делят плоскость на $R=2n$ частей.
В данном случае $n=3$, поэтому количество частей равно:
$R = 2 \times 3 = 6$.

Оба способа, а также непосредственный подсчет областей на рисунке, дают один и тот же результат.

Ответ: Три прямые, пересекающиеся в одной точке, разбивают плоскость на 6 частей.

4.5. Изобразите четыре прямые, пересекающиеся в одной точке. На сколько частей они разбивают плоскость?

Изобразим четыре прямые, которые пересекаются в одной точке. На рисунке ниже области, на которые эти прямые делят плоскость, пронумерованы от 1 до 8.

Чтобы подсчитать, на сколько частей прямые делят плоскость, будем рассуждать последовательно, добавляя по одной прямой:

- Одна прямая делит плоскость на 2 части.

- Вторая прямая пересекает первую. При этом она проходит через 2 уже существующие части и делит каждую из них надвое, добавляя 2 новые части. Всего получается $2 + 2 = 4$ части.

- Третья прямая, проведенная через ту же точку пересечения, также проходит через две противолежащие части, создавая еще 2 новые. Общее количество частей становится $4 + 2 = 6$.

- Четвертая прямая аналогично добавляет еще 2 части, пересекая две противолежащие области. В итоге получаем $6 + 2 = 8$ частей.

Можно заметить общую закономерность: каждая новая прямая ($k$-ая), проходящая через общую точку, добавляет 2 новые части. Таким образом, для $n$ прямых, пересекающихся в одной точке, количество частей, на которые они делят плоскость, равно $2n$.

В нашем случае $n = 4$, поэтому количество частей составляет $2 \times 4 = 8$.

Ответ: 8 частей.