Страница 22 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

4.6. Изобразите лучи $OA$, $OB$, $OC$, $OD$ так, чтобы:

а) луч $OC$ лежал внутри угла $AOB$, луч $OD$ лежал внутри угла $BOC$;

б) луч $OA$ лежал внутри угла $BOC$, луч $OC$ лежал внутри угла $AOD$.

а) Для выполнения первого условия, "луч OC лежал внутри угла AOB", необходимо, чтобы луч OC проходил между сторонами угла AOB, то есть между лучами OA и OB. Это означает, что угол AOB равен сумме углов AOC и COB: $\angle AOB = \angle AOC + \angle COB$.

Для выполнения второго условия, "луч OD лежал внутри угла BOC", необходимо, чтобы луч OD проходил между сторонами угла BOC, то есть между лучами OB и OC. Это означает, что угол BOC равен сумме углов BOD и DOC: $\angle BOC = \angle BOD + \angle DOC$.

Чтобы удовлетворить обоим условиям, лучи должны быть расположены последовательно. Если мы начнем с луча OA и будем двигаться против часовой стрелки, то следующим будет луч OC, затем луч OD и, наконец, луч OB. Таким образом, порядок лучей будет: OA, OC, OD, OB.

Изображение, соответствующее этим условиям:

Ответ: На рисунке выше показано требуемое расположение лучей.

б) Первое условие, "луч OA лежал внутри угла BOC", означает, что луч OA проходит между лучами OB и OC. Соответствующее равенство для углов: $\angle BOC = \angle BOA + \angle AOC$.

Второе условие, "луч OC лежал внутри угла AOD", означает, что луч OC проходит между лучами OA и OD. Соответствующее равенство для углов: $\angle AOD = \angle AOC + \angle COD$.

Объединяя эти два условия, мы получаем следующую последовательность расположения лучей (например, против часовой стрелки): OB, OA, OC, OD.

Проверим:
1. Лежит ли OA внутри BOC? Да, так как он находится между OB и OC в нашей последовательности.
2. Лежит ли OC внутри AOD? Да, так как он находится между OA и OD в нашей последовательности.

Изображение, соответствующее этим условиям:

Ответ: На рисунке выше показано требуемое расположение лучей.

4.7. Какие из изображенных на рисунке 4.7 точек принадлежат сторонам угла, а какие — лежат внутри угла?

Рис. 4.7

Рис. 4.8

Для решения задачи проанализируем положение каждой точки относительно угла, изображенного на рисунке 4.7. Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки (вершины). Лучи называются сторонами угла, а часть плоскости между ними — внутренней областью угла.

Какие из изображенных на рисунке 4.7 точек принадлежат сторонам угла

Сторонам угла принадлежат точки, которые лежат непосредственно на лучах, образующих этот угол. На рисунке видно, что:
• Точка O является вершиной угла, а значит, принадлежит обеим его сторонам.
• Точка A лежит на правом луче (стороне) угла.
• Точки B, C и D не лежат на сторонах угла.
Таким образом, сторонам угла принадлежат точки O и A.
Ответ: Точки O и A.

а какие — лежат внутри угла?

Точка лежит внутри угла, если она находится во внутренней области угла, то есть между его сторонами. Анализируя рисунок, видим, что:
• Точка D расположена в области между двумя лучами, исходящими из вершины O.
• Точки B и C находятся вне этой области.
Следовательно, внутри угла лежит точка D.
Ответ: Точка D.

4.8. Сколько углов с вершиной в точке O изображено на рисунке 4.8?

Рис. 4. 8

Для того чтобы определить количество углов с вершиной в точке О, необходимо посчитать, сколько различных пар лучей можно составить из всех лучей, выходящих из этой точки.
На рисунке изображены четыре луча с общим началом в точке О: ON, OP, OM и OQ.
Задача сводится к нахождению числа сочетаний из 4 элементов по 2, так как каждый угол определяется уникальной парой лучей.
Формула для расчета числа сочетаний из $n$ по $k$:
$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В нашем случае $n=4$ (общее количество лучей), а $k=2$ (количество лучей, образующих угол).
Подставляем значения в формулу:
$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \cdot (2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$.
Таким образом, существует 6 различных пар лучей, которые образуют 6 углов.
Перечислим эти углы для наглядности:
1. Угол, образованный лучами ON и OP: $\angle NOP$
2. Угол, образованный лучами ON и OM: $\angle NOM$
3. Угол, образованный лучами ON и OQ: $\angle NOQ$
4. Угол, образованный лучами OP и OM: $\angle POM$
5. Угол, образованный лучами OP и OQ: $\angle POQ$
6. Угол, образованный лучами OM и OQ: $\angle MOQ$
Ответ: 6

4.9. Сколько имеется углов, смежных данному?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо обратиться к определению смежных углов. Смежными углами называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются дополнительными лучами, то есть лежат на одной прямой и образуют развернутый угол ($180^\circ$).

Пусть нам дан некоторый угол. Он образован двумя лучами, выходящими из одной точки (вершины). У этого угла есть две стороны-луча. Чтобы построить смежный ему угол, мы должны одну из его сторон продлить за вершину, чтобы она образовала прямую с исходным лучом.

Поскольку у исходного угла есть две стороны, мы можем выполнить эту операцию двумя способами:

1. Продлить первую сторону данного угла за вершину. Новый угол, который будет иметь общую вторую сторону с данным углом, будет ему смежным.

2. Продлить вторую сторону данного угла за вершину. Новый угол, который будет иметь общую первую сторону с данным углом, также будет ему смежным.

Таким образом, для каждого из двух лучей, образующих данный угол, можно построить по одному смежному углу. Это означает, что у любого заданного угла существует ровно два смежных ему угла.

Это можно наглядно представить на примере двух пересекающихся прямых, которые образуют четыре угла.

Пусть данный нам угол — это угол $\angle AOD$ (на рисунке обозначен как $\alpha$). У него есть два смежных угла, обозначенных как $\beta$:
• угол $\angle AOC$, так как у них общая сторона $AO$, а стороны $DO$ и $CO$ лежат на одной прямой $DC$;
• угол $\angle DOB$, так как у них общая сторона $DO$, а стороны $AO$ и $BO$ лежат на одной прямой $AB$.
Угол $\angle COB$ (также обозначен как $\alpha$) не является смежным для $\angle AOD$, он является ему вертикальным.

Следовательно, у любого неразвернутого угла есть ровно два смежных угла.

Ответ: 2.

4.10. Сколько имеется углов, вертикальных с данным?

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых. Это пара углов, у которых стороны одного являются продолжением сторон другого. У таких углов общая вершина, и они всегда равны.

Рассмотрим две прямые, пересекающиеся в точке $O$. При этом образуется четыре угла.

На рисунке показаны четыре угла, образовавшиеся при пересечении двух прямых. Углы $\angle 1$ и $\angle 3$ являются одной парой вертикальных углов. Углы $\angle 2$ и $\angle 4$ — другой парой.

Если нам дан некоторый угол, например, $\angle 1$, то по определению, вертикальным ему будет только тот угол, который находится напротив него через общую вершину. В нашем случае это угол $\angle 3$. Углы $\angle 2$ и $\angle 4$ являются смежными для угла $\angle 1$, а не вертикальными.

Следовательно, для любого данного угла существует только один угол, вертикальный с ним.

Ответ: 1.

4.11. Даны пять точек и прямая, не проходящая ни через одну из этих точек. Известно, что три точки расположены в одной полуплоскости, две другие — в другой полуплоскости относительно этой прямой. Каждая пара точек соединена отрезком. Сколько отрезков:
а) пересекает прямую;
б) не пересекает прямую? Сделайте соответствующий рисунок.

Сначала определим общее количество отрезков. У нас есть 5 точек, и каждая пара точек соединена отрезком. Количество таких отрезков равно числу сочетаний из 5 по 2, что вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=5$ и $k=2$:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ отрезков.

Прямая делит плоскость на две полуплоскости. Обозначим одну полуплоскость как П₁, а другую как П₂. По условию, в П₁ находятся 3 точки, а в П₂ — 2 точки.

Основное правило, которое мы будем использовать: отрезок пересекает прямую тогда и только тогда, когда его концы лежат в разных полуплоскостях относительно этой прямой.

а) пересекает прямую

Чтобы отрезок пересекал прямую, один его конец должен лежать в полуплоскости П₁ (где 3 точки), а другой — в полуплоскости П₂ (где 2 точки). Чтобы найти количество таких отрезков, нужно умножить количество точек в одной полуплоскости на количество точек в другой.

Количество пересекающих отрезков = (количество точек в П₁) × (количество точек в П₂) = $3 \times 2 = 6$.
Ответ: 6 отрезков.

б) не пересекает прямую

Чтобы отрезок не пересекал прямую, оба его конца должны лежать в одной и той же полуплоскости. Мы можем найти это количество двумя способами.

Способ 1: Прямой подсчет.

1. Количество отрезков, оба конца которых лежат в П₁. Здесь 3 точки, поэтому количество отрезков равно числу сочетаний из 3 по 2:

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ отрезка.

2. Количество отрезков, оба конца которых лежат в П₂. Здесь 2 точки, поэтому количество отрезков равно числу сочетаний из 2 по 2:

$C_2^2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = 1$ отрезок.

Общее количество непересекающих отрезков равно сумме этих двух значений: $3 + 1 = 4$.

Способ 2: Вычитание из общего числа.

Мы знаем общее количество отрезков (10) и количество пересекающих отрезков (6). Тогда количество непересекающих отрезков равно их разности:

10 (всего) - 6 (пересекающих) = 4 (непересекающих).

Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: 4 отрезка.

Сделайте соответствующий рисунок.

На рисунке ниже показана прямая, разделяющая плоскость на две полуплоскости. В верхней полуплоскости расположены 3 точки, в нижней — 2 точки. Отрезки, пересекающие прямую, показаны красным цветом (их 6), а отрезки, не пересекающие прямую, — синим цветом (их 4).

4.12. Изобразите три попарно пересекающиеся прямые, не пересекающиеся в одной точке. На сколько частей они разбивают плоскость?

Для решения задачи необходимо изобразить три прямые, которые отвечают двум условиям:
1. Попарное пересечение: каждая прямая пересекает две другие. Это означает, что среди прямых нет параллельных.
2. Непересечение в одной точке: все три прямые не проходят через одну общую точку.

Такое расположение прямых образует на плоскости треугольник, ограниченный отрезками этих прямых.
Ниже представлено изображение такой конфигурации. Цифрами обозначены части (области), на которые плоскость разбивается этими прямыми.

Подсчитаем количество частей, на которые прямые разбивают плоскость, последовательно добавляя прямые:

1. Первая прямая делит бесконечную плоскость на 2 части.

2. Вторая прямая пересекает первую. При этом она сама делится точкой пересечения на два луча. Каждый из этих лучей проходит через одну из двух существующих областей и делит её надвое. Таким образом, вторая прямая добавляет ещё 2 новые области. Общее число частей становится $2 + 2 = 4$.

3. Третья прямая, согласно условию, пересекает первые две прямые в двух различных точках. Эти две точки пересечения делят третью прямую на три части (один отрезок и два луча). Каждая из этих трёх частей прямой проходит через одну из четырёх существующих областей, разделяя её на две. Следовательно, третья прямая добавляет ещё 3 новые области. Общее число частей становится $4 + 3 = 7$.

Этот результат можно также проверить с помощью общей формулы для максимального числа областей $L_n$, на которые $n$ прямых могут разделить плоскость (при условии, что никакие две прямые не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке):
$L_n = \frac{n(n+1)}{2} + 1$
Для нашего случая, где $n=3$:
$L_3 = \frac{3(3+1)}{2} + 1 = \frac{3 \times 4}{2} + 1 = 6 + 1 = 7$

Ответ: три попарно пересекающиеся прямые, не пересекающиеся в одной точке, разбивают плоскость на 7 частей.

4.13. Изобразите четыре попарно пересекающиеся прямые, три из которых не пересекаются в одной точке. На сколько частей они разбивают плоскость?

Задача состоит в том, чтобы, во-первых, нарисовать четыре прямые, которые пересекаются друг с другом попарно, но при этом никакие три из них не проходят через одну и ту же точку, и, во-вторых, определить, на сколько областей (частей) эти прямые делят плоскость. Такое расположение прямых называется общим положением.

Давайте последовательно подсчитаем, как увеличивается количество частей плоскости с добавлением каждой новой прямой:

1. Первая прямая делит бесконечную плоскость на 2 части.

2. Вторая прямая, поскольку она не параллельна первой, пересечет ее в одной точке. Пройдя через плоскость, эта прямая разделит две уже существующие части, добавив таким образом 2 новые части. Общее количество частей становится $2 + 2 = 4$.

3. Третья прямая, по условию, должна пересечь две предыдущие прямые, причем в разных точках. Пересекая две прямые, она пройдет через 3 уже существующие области. Каждую из этих трех областей она разделит на две, следовательно, добавит 3 новые части. Общее количество частей: $4 + 3 = 7$.

4. Четвертая прямая, согласно условию, пересечет три предыдущие прямые в трех различных точках. Это означает, что она пройдет через 4 существующие области, разделяя каждую из них и добавляя 4 новые части. Итоговое количество частей: $7 + 4 = 11$.

Этот процесс можно обобщить. Количество областей $R(n)$, на которые $n$ прямых в общем положении делят плоскость, описывается формулой: $R(n) = \frac{n(n+1)}{2} + 1$

Подставим в формулу $n=4$: $R(4) = \frac{4(4+1)}{2} + 1 = \frac{4 \times 5}{2} + 1 = 10 + 1 = 11$.

Ниже приведено изображение четырех прямых в общем положении. Для наглядности подсчета все 11 образованных областей пронумерованы.

Ответ: 11 частей.

4.14. Сколько всего углов, меньше развернутого, определяются лучами, изображенными на рисунке 4.9? Назовите их.

Рис. 4.9

Сколько всего углов, меньше развернутого, определяются лучами, изображенными на рисунке 4.9?

На рисунке изображены 4 луча, исходящие из одной точки O: OA, OB, OC, OD. Угол образуется парой таких лучей. Чтобы найти общее количество углов, нужно определить, сколькими способами можно выбрать 2 луча из 4. Это комбинаторная задача на нахождение числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. В нашем случае $n=4$ (количество лучей), а $k=2$ (количество лучей для образования одного угла).
Подставляем значения в формулу: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$.

Таким образом, можно образовать 6 различных углов. Развернутый угол равен $180°$. Из рисунка видно, что все лучи лежат в одной полуплоскости, и самый большой угол ($∠AOD$) меньше развернутого. Следовательно, все 6 углов меньше развернутого.

Назовите их.

Для того чтобы назвать все углы, систематически перечислим все пары лучей:
1. Углы со стороной OA: $∠AOB, ∠AOC, ∠AOD$.
2. Углы со стороной OB (исключая уже названный $∠AOB$): $∠BOC, ∠BOD$.
3. Угол со стороной OC (исключая уже названные): $∠COD$.
Всего получается 6 углов.

Ответ: Всего 6 углов: $∠AOB, ∠AOC, ∠AOD, ∠BOC, ∠BOD, ∠COD$.

4.15. По рисунку 4.10 запишите пары смежных углов.

Пары смежных углов:

На прямой $AD$:

• $\angle DOC$ и $\angle COA$
• $\angle DOB$ и $\angle BOA$
• $\angle DOE$ и $\angle EOA$
• $\angle DOF$ и $\angle FOA$

На прямой $CE$:

• $\angle COB$ и $\angle BOE$
• $\angle COA$ и $\angle AOE$
• $\angle COD$ и $\angle DOE$
• $\angle COF$ и $\angle FOE$

На прямой $BF$:

• $\angle BOC$ и $\angle COF$
• $\angle BOD$ и $\angle DOF$
• $\angle BOA$ и $\angle AOF$
• $\angle BOE$ и $\angle EOF$

Рис. 4.10

Смежными углами называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются продолжениями одна другой, то есть лежат на одной прямой. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.

На рисунке изображены три прямые $AD$, $BE$ и $CF$, которые пересекаются в одной точке $O$. Пары смежных углов образуются, когда одна из прямых делится лучом, исходящим из точки $O$.

Для нахождения всех пар смежных углов рассмотрим последовательно каждую прямую. Стороны смежных углов должны в сумме образовывать одну из этих прямых.

1. Пары смежных углов, внешние стороны которых образуют прямую $AD$:
• $∠AOB$ и $∠BOD$
• $∠AOC$ и $∠COD$
• $∠AOE$ и $∠EOD$
• $∠AOF$ и $∠FOD$

2. Пары смежных углов, внешние стороны которых образуют прямую $BE$:
• $∠BOA$ и $∠EOA$
• $∠BOC$ и $∠EOC$
• $∠BOD$ и $∠EOD$
• $∠BOF$ и $∠EOF$

3. Пары смежных углов, внешние стороны которых образуют прямую $CF$:
• $∠COA$ и $∠FOA$
• $∠COB$ и $∠FOB$
• $∠COD$ и $∠FOD$
• $∠COE$ и $∠FOE$

Ответ: Парами смежных углов на рисунке являются:
$∠AOB$ и $∠BOD$; $∠AOC$ и $∠COD$; $∠AOE$ и $∠EOD$; $∠AOF$ и $∠FOD$;
$∠BOA$ и $∠EOA$; $∠BOC$ и $∠EOC$; $∠BOD$ и $∠EOD$; $∠BOF$ и $∠EOF$;
$∠COA$ и $∠FOA$; $∠COB$ и $∠FOB$; $∠COD$ и $∠FOD$; $∠COE$ и $∠FOE$.

4.16. По рисунку 4.10 запишите пары вертикальных углов.

Рис. 4.9

Рис. 4.10

Вертикальные углы — это пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются продолжением сторон другого. На представленном рисунке 4.10 изображены три прямые $AD$, $BE$ и $CF$, пересекающиеся в точке $O$.

Пары вертикальных углов образуются при пересечении любых двух из этих трех прямых. Найдем все такие пары, рассмотрев пересечения прямых попарно:

1. При пересечении прямых $AD$ и $BE$ образуются две пары вертикальных углов:

• $\angle AOB$ и $\angle DOE$
• $\angle AOE$ и $\angle BOD$

2. При пересечении прямых $BE$ и $CF$ образуются две пары вертикальных углов:

• $\angle BOC$ и $\angle EOF$
• $\angle BOF$ и $\angle COE$

3. При пересечении прямых $AD$ и $CF$ образуются две пары вертикальных углов:

• $\angle COD$ и $\angle AOF$ (также можно записать как $\angle FOA$)
• $\angle AOC$ и $\angle DOF$

Всего на рисунке можно выделить 6 пар вертикальных углов.

Ответ: Пары вертикальных углов: $\angle AOB$ и $\angle DOE$; $\angle BOC$ и $\angle EOF$; $\angle COD$ и $\angle FOA$; $\angle AOE$ и $\angle BOD$; $\angle BOF$ и $\angle COE$; $\angle AOC$ и $\angle DOF$.