Номер 4.14, страница 22 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

4.14. Сколько всего углов, меньше развернутого, определяются лучами, изображенными на рисунке 4.9? Назовите их.

Рис. 4.9

Сколько всего углов, меньше развернутого, определяются лучами, изображенными на рисунке 4.9?

На рисунке изображены 4 луча, исходящие из одной точки O: OA, OB, OC, OD. Угол образуется парой таких лучей. Чтобы найти общее количество углов, нужно определить, сколькими способами можно выбрать 2 луча из 4. Это комбинаторная задача на нахождение числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. В нашем случае $n=4$ (количество лучей), а $k=2$ (количество лучей для образования одного угла).
Подставляем значения в формулу: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$.

Таким образом, можно образовать 6 различных углов. Развернутый угол равен $180°$. Из рисунка видно, что все лучи лежат в одной полуплоскости, и самый большой угол ($∠AOD$) меньше развернутого. Следовательно, все 6 углов меньше развернутого.

Назовите их.

Для того чтобы назвать все углы, систематически перечислим все пары лучей:
1. Углы со стороной OA: $∠AOB, ∠AOC, ∠AOD$.
2. Углы со стороной OB (исключая уже названный $∠AOB$): $∠BOC, ∠BOD$.
3. Угол со стороной OC (исключая уже названные): $∠COD$.
Всего получается 6 углов.

Ответ: Всего 6 углов: $∠AOB, ∠AOC, ∠AOD, ∠BOC, ∠BOD, ∠COD$.