Номер 4.13, страница 22 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

4.13. Изобразите четыре попарно пересекающиеся прямые, три из которых не пересекаются в одной точке. На сколько частей они разбивают плоскость?

Задача состоит в том, чтобы, во-первых, нарисовать четыре прямые, которые пересекаются друг с другом попарно, но при этом никакие три из них не проходят через одну и ту же точку, и, во-вторых, определить, на сколько областей (частей) эти прямые делят плоскость. Такое расположение прямых называется общим положением.

Давайте последовательно подсчитаем, как увеличивается количество частей плоскости с добавлением каждой новой прямой:

1. Первая прямая делит бесконечную плоскость на 2 части.

2. Вторая прямая, поскольку она не параллельна первой, пересечет ее в одной точке. Пройдя через плоскость, эта прямая разделит две уже существующие части, добавив таким образом 2 новые части. Общее количество частей становится $2 + 2 = 4$.

3. Третья прямая, по условию, должна пересечь две предыдущие прямые, причем в разных точках. Пересекая две прямые, она пройдет через 3 уже существующие области. Каждую из этих трех областей она разделит на две, следовательно, добавит 3 новые части. Общее количество частей: $4 + 3 = 7$.

4. Четвертая прямая, согласно условию, пересечет три предыдущие прямые в трех различных точках. Это означает, что она пройдет через 4 существующие области, разделяя каждую из них и добавляя 4 новые части. Итоговое количество частей: $7 + 4 = 11$.

Этот процесс можно обобщить. Количество областей $R(n)$, на которые $n$ прямых в общем положении делят плоскость, описывается формулой: $R(n) = \frac{n(n+1)}{2} + 1$

Подставим в формулу $n=4$: $R(4) = \frac{4(4+1)}{2} + 1 = \frac{4 \times 5}{2} + 1 = 10 + 1 = 11$.

Ниже приведено изображение четырех прямых в общем положении. Для наглядности подсчета все 11 образованных областей пронумерованы.

Ответ: 11 частей.