Номер 4.20, страница 23 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

4.20. На сколько частей разбивают плоскость $n$ попарно пересекающихся прямых, три из которых не пересекаются в одной точке?

Для решения этой задачи найдем рекуррентное соотношение, которое описывает, как изменяется количество частей плоскости при добавлении каждой новой прямой. Обозначим искомое количество частей через $L_n$. Условия задачи — все прямые попарно пересекаются и никакие три не пересекаются в одной точке — означают, что прямые находятся в "общем положении".

Рассмотрим, как растет число частей плоскости с увеличением числа прямых $n$.

При $n=0$, у нас нет прямых, и вся плоскость является одной частью. Итак, $L_0 = 1$.

При $n=1$, одна прямая делит плоскость на 2 части. $L_1 = 2$. Прирост составил 1 часть.

При $n=2$, вторая прямая пересекает первую (так как они не параллельны). Эта вторая прямая проходит через 2 уже существующие области, разделяя каждую из них на две. Следовательно, общее количество частей увеличивается на 2.
$L_2 = L_1 + 2 = 2 + 2 = 4$.

При $n=3$, третья прямая пересекает две предыдущие в двух разных точках (по условию, три прямые не могут пересечься в одной точке). Эти две точки делят третью прямую на 3 части (один отрезок и два луча). Каждая из этих трех частей делит одну из существующих областей на две, таким образом добавляя 3 новые области.
$L_3 = L_2 + 3 = 4 + 3 = 7$.

Можно заметить общую закономерность. Пусть на плоскости уже проведено $n-1$ прямых, которые делят ее на $L_{n-1}$ частей. Когда мы проводим $n$-ю прямую, она, по условию, пересекает каждую из предыдущих $n-1$ прямых в $n-1$ различной точке. Эти $n-1$ точек пересечения разделяют $n$-ю прямую на $n$ интервалов (два из которых — лучи, уходящие в бесконечность). Каждый из этих $n$ интервалов проходит через одну из ранее существовавших частей плоскости и делит ее на две, тем самым добавляя одну новую часть. Следовательно, добавление $n$-й прямой увеличивает общее число частей на $n$.
Это дает нам рекуррентное соотношение: $L_n = L_{n-1} + n$.

Теперь найдем явную формулу для $L_n$, используя полученное соотношение и начальное условие $L_0=1$:
$L_n = L_{n-1} + n = (L_{n-2} + n-1) + n = \dots = L_0 + 1 + 2 + 3 + \dots + n$.
Сумма первых $n$ натуральных чисел вычисляется по формуле суммы арифметической прогрессии:
$S_n = 1 + 2 + \dots + n = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$.
Подставляя это значение в выражение для $L_n$, получаем:
$L_n = 1 + \frac{n(n+1)}{2}$.
Формулу можно также представить в виде многочлена:
$L_n = \frac{2}{2} + \frac{n^2+n}{2} = \frac{n^2+n+2}{2}$.

Ответ: $n$ попарно пересекающихся прямых, три из которых не пересекаются в одной точке, разбивают плоскость на $1 + \frac{n(n+1)}{2}$ (или $\frac{n^2+n+2}{2}$) частей.