Номер 4.19, страница 23 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

4.19. На сколько частей делят плоскость:

а) два луча с общей вершиной;

б) три луча с общей вершиной;

в) четыре луча с общей вершиной;

г) $n$ лучей с общей вершиной?

а) два луча с общей вершиной

Два различных луча, исходящие из одной точки (вершины), образуют угол. Эти лучи делят всю плоскость на две части: внутреннюю область угла и внешнюю по отношению к ней область. Это можно представить наглядно.

Даже если лучи являются противоположными и образуют прямую, прямая также делит плоскость на две части (две полуплоскости). Таким образом, в общем случае два луча делят плоскость на две части.

Ответ: на 2 части.

б) три луча с общей вершиной

Рассмотрим три различных луча, выходящих из одной вершины. Первые два луча делят плоскость на 2 части. Третий луч, исходя из той же вершины, пройдет внутри одной из этих двух частей и разделит ее на две новые. В результате общее количество частей увеличится на одну: $2 + 1 = 3$. Три луча образуют три угла с общей вершиной, которые вместе занимают всю плоскость.

Таким образом, три луча с общей вершиной делят плоскость на три части.

Ответ: на 3 части.

в) четыре луча с общей вершиной

Аналогично предыдущему пункту, если у нас есть три луча, делящие плоскость на 3 части, то четвертый луч разделит одну из этих частей надвое. Общее количество частей станет $3 + 1 = 4$.

Следовательно, четыре различных луча с общей вершиной делят плоскость на четыре части.

Ответ: на 4 части.

г) *n лучей с общей вершиной

Обобщим полученные результаты. Мы видим закономерность: количество частей, на которые делится плоскость, равно количеству лучей. Докажем, что $n$ различных лучей с общей вершиной делят плоскость на $n$ частей.

Воспользуемся методом математической индукции.
База индукции: При $n=1$, один луч не делит плоскость, оставляя 1 часть. Утверждение верно. При $n=2$ два луча делят плоскость на 2 части. Утверждение также верно.
Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для $k$ лучей, то есть $k$ лучей делят плоскость на $k$ частей (угловых секторов). Рассмотрим $k+1$ лучей. Первые $k$ лучей по нашему предположению делят плоскость на $k$ частей. $(k+1)$-й луч, исходящий из той же вершины, должен попасть в один из этих $k$ секторов. Проходя через этот сектор, он разделит его на два новых. Остальные $k-1$ секторов останутся без изменений. Таким образом, общее количество частей станет $(k-1) + 2 = k+1$.
Так как утверждение верно для базы индукции и индукционный переход доказан, то утверждение верно для любого натурального числа $n$.

Это справедливо при условии, что все $n$ лучей различны (не совпадают).

Ответ: на $n$ частей.