Номер 5.3, страница 26 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

5.3. Расположите углы, изображенные на рисунке 5.12, в порядке их возрастания.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

R

Q

P

C

B

A

1 2

3 4

5 6

Рис. 5.10

Рис. 5.11

Рис. 5.12

Для того чтобы расположить углы в порядке возрастания, мы определим величину каждого угла, используя сетку. Мы можем классифицировать углы как острые (меньше $90^\circ$), прямые ($90^\circ$) или тупые (больше $90^\circ$). Для острых углов мы можем найти их тангенс, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему в прямоугольном треугольнике, образованном лучами угла и линиями сетки. Чем больше тангенс острого угла, тем больше сам угол.

Проанализируем каждый угол:

Угол 1: Это прямой угол, так как его стороны лежат на перпендикулярных линиях сетки. Его величина составляет $90^\circ$.

Угол 2: Это тупой угол. Смежный с ним острый угол $\alpha_2$ образован лучами, которые проходят через узлы сетки так, что образуют прямоугольный треугольник с катетами, равными 1 и 1. Тангенс этого смежного угла $ \tan(\alpha_2) = 1/1 = 1 $, значит $\alpha_2 = 45^\circ$. Следовательно, угол 2 равен $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Угол 3: Это острый угол. Одна его сторона вертикальна. Вторая сторона образует с вертикалью угол, для которого можно построить прямоугольный треугольник с катетами 1 (горизонтальный, противолежащий) и 2 (вертикальный, прилежащий). Тангенс этого угла равен $ \tan(\angle 3) = 1/2 $.

Угол 4: Это тупой угол, равный углу 2. Его смежный острый угол $\alpha_4$ также образован лучами, формирующими прямоугольный треугольник с катетами 1 и 1. $ \tan(\alpha_4) = 1/1 = 1 $, значит $\alpha_4 = 45^\circ$. Следовательно, угол 4 равен $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Угол 5: Это острый угол. Его стороны образуют прямоугольный треугольник с катетами 1 и 1. Тангенс этого угла равен $ \tan(\angle 5) = 1/1 = 1 $. Следовательно, угол 5 равен $45^\circ$.

Угол 6: Это острый угол. Его стороны образуют прямоугольный треугольник с противолежащим катетом 1 и прилежащим катетом 2. Тангенс этого угла равен $ \tan(\angle 6) = 1/2 $.

Теперь сравним величины всех углов.
У нас есть следующие значения (или их тангенсы для острых углов):
$ \angle 3 = \angle 6 = \arctan(1/2) $
$ \angle 5 = 45^\circ $
$ \angle 1 = 90^\circ $
$ \angle 2 = \angle 4 = 135^\circ $

Сравниваем тангенсы острых углов: $ \tan(\angle 3) = \tan(\angle 6) = 1/2 = 0.5 $, а $ \tan(\angle 5) = 1 $.Поскольку $ 0.5 < 1 $, то $ \angle 3 = \angle 6 < \angle 5 $.Все острые углы меньше $90^\circ$, а все тупые углы больше $90^\circ$.Таким образом, расположив углы в порядке возрастания, получаем следующую последовательность:
$ \arctan(1/2) < 45^\circ < 90^\circ < 135^\circ $
$ (\angle 3 = \angle 6) < \angle 5 < \angle 1 < (\angle 2 = \angle 4) $

Ответ: Углы в порядке их возрастания: 3 и 6 (они равны), 5, 1, 2 и 4 (они равны). В виде неравенства: $ \angle 3 = \angle 6 < \angle 5 < \angle 1 < \angle 2 = \angle 4 $.