Номер 5.7, страница 27 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

5.7. Сколько углов, больше развернутого, образуются лучами, изображенными на рисунке 5.14?

Рис. 5.14

Развернутый угол — это угол, равный $180^\circ$. Угол, больше развернутого, — это угол, градусная мера которого больше $180^\circ$ (но меньше $360^\circ$). На рисунке изображены четыре луча, выходящие из одной точки O: OA, OB, OC и OD. Любая пара этих лучей образует два угла, которые в сумме дают полный угол $360^\circ$. Один из этих углов (внутренний) меньше или равен $180^\circ$, а другой (внешний) — больше или равен $180^\circ$. Вопрос задачи заключается в том, чтобы найти количество углов, которые строго больше $180^\circ$. Из рисунка видно, что никакие два луча не являются противоположно направленными, то есть не образуют развернутый угол в $180^\circ$. Это означает, что для каждой пары лучей один из образуемых углов будет строго меньше $180^\circ$, а другой — строго больше $180^\circ$. Следовательно, задача сводится к подсчету количества пар лучей, которые можно образовать из четырех имеющихся. Это задача на нахождение числа сочетаний из 4 элементов по 2. Число сочетаний вычисляется по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество элементов в группе. В нашем случае $n=4$ (лучи OA, OB, OC, OD), а $k=2$ (для образования угла нужны два луча). Вычисляем: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$. Таким образом, можно образовать 6 пар лучей, и каждая из них формирует один угол, больший развернутого. Этими парами являются (OA, OB), (OA, OC), (OA, OD), (OB, OC), (OB, OD) и (OC, OD). Ответ: 6.