Номер 5.11, страница 28 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

5.11. На клетчатой бумаге изобразите угол, равный сумме углов $AOB$ и $PQR$ (рис. 5.16).

б) Рис. 5.16

а) Для того чтобы найти угол, равный сумме углов $AOB$ и $PQR$, мы можем использовать их тригонометрические характеристики, которые легко определить по клетчатой бумаге.

1. Анализ угла $AOB$. Вершина угла находится в точке $O$. Одна сторона, луч $OA$, лежит на горизонтальной линии сетки. Другая сторона, луч $OB$, проходит через узел сетки, который находится на 2 клетки правее и на 2 клетки выше точки $O$. Тангенс угла, образованного лучом $OB$ с горизонталью, равен отношению вертикального смещения к горизонтальному: $\tan(\angle AOB) = 2/2 = 1$. Следовательно, $\angle AOB = 45^\circ$.

2. Анализ угла $PQR$. Вершина угла находится в точке $Q$. Одна сторона, луч $QR$, лежит на вертикальной линии сетки. Другая сторона, луч $QP$, проходит через узел сетки, который находится на 2 клетки правее и на 1 клетку выше точки $Q$. Угол $PQR$ — это угол между вертикальным лучом $QR$ и лучом $QP$. Угол, который луч $QP$ образует с горизонталью, имеет тангенс, равный $1/2$. Угол между лучом $QP$ и вертикалью $QR$ можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный точками $Q$, $P$ и проекцией $P$ на вертикальную линию, проходящую через $Q$. Катеты этого треугольника равны 1 и 2. Тангенс угла $PQR$ равен отношению противолежащего катета (горизонтальное смещение) к прилежащему (вертикальное смещение от проекции): $\tan(\angle PQR) = 2/1 = 2$.

3. Сложение углов. Нам нужно найти угол $\theta = \angle AOB + \angle PQR$. Мы можем использовать формулу для тангенса суммы двух углов: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$.Подставим наши значения: $\tan\alpha = \tan(\angle AOB) = 1$ и $\tan\beta = \tan(\angle PQR) = 2$.$\tan\theta = \frac{1 + 2}{1 - 1 \cdot 2} = \frac{3}{-1} = -3$.

4. Построение угла. Чтобы построить искомый угол, выберем на клетчатой бумаге произвольную точку-вершину $M$. Проведем из нее один луч $ML$ горизонтально вправо. Второй луч $MN$ должен иметь тангенс (угловой коэффициент) равный $-3$ относительно горизонтального луча. Это означает, что для построения точки $N$ на луче $MN$ мы должны отступить от вершины $M$ на 1 клетку влево (изменение по горизонтали $-1$) и на 3 клетки вверх (изменение по вертикали $+3$). Полученный угол $\angle LMN$ и будет искомым.

Ответ:

б) 1. Анализ угла $AOB$. Вершина угла находится в точке $O$. Луч $OA$ проходит через узел сетки, который находится на 2 клетки правее и 1 клетку ниже точки $O$. Его угловой коэффициент (тангенс угла с горизонталью) равен $m_{OA} = -1/2$. Луч $OB$ проходит через узел сетки, который находится на 1 клетку правее и 2 клетки выше точки $O$. Его угловой коэффициент равен $m_{OB} = 2/1 = 2$. Произведение угловых коэффициентов $m_{OA} \cdot m_{OB} = (-1/2) \cdot 2 = -1$, что является условием перпендикулярности двух прямых. Следовательно, $\angle AOB = 90^\circ$.

2. Анализ угла $PQR$. Вершина угла в точке $Q$. Луч $QP$ проходит через узел сетки (2 клетки вправо, 1 вверх), его угловой коэффициент $m_{QP} = 1/2$. Луч $QR$ проходит через узел сетки (1 клетка вправо, 2 вверх), его угловой коэффициент $m_{QR} = 2$. Чтобы найти угол $\beta = \angle PQR$ между этими лучами, можно использовать формулу для тангенса угла между двумя прямыми с известными угловыми коэффициентами: $\tan\beta = \left|\frac{m_{QR} - m_{QP}}{1 + m_{QR}m_{QP}}\right|$.$\tan(\angle PQR) = \frac{2 - 1/2}{1 + 2 \cdot (1/2)} = \frac{3/2}{1 + 1} = \frac{3/2}{2} = 3/4$.

3. Сложение углов. Искомый угол $\theta = \angle AOB + \angle PQR = 90^\circ + \angle PQR$.Тангенс этого угла можно найти по формуле приведения: $\tan\theta = \tan(90^\circ + \angle PQR) = -\cot(\angle PQR)$.Так как $\tan(\angle PQR) = 3/4$, то $\cot(\angle PQR) = 1 / \tan(\angle PQR) = 4/3$.Следовательно, $\tan\theta = -4/3$.

4. Построение угла. Выберем на клетчатой бумаге вершину $M$ и проведем из нее горизонтальный луч $ML$. Второй луч $MN$ должен иметь угловой коэффициент $-4/3$. Это означает, что для построения точки $N$ на луче $MN$ мы должны отступить от $M$ на 3 клетки влево (изменение по горизонтали $-3$) и на 4 клетки вверх (изменение по вертикали $+4$). Угол $\angle LMN$ является искомым.

Ответ: