Номер 5.13, страница 28 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

5.13. На клетчатой бумаге изобразите угол, равный разности углов $AOB$ и $PQR$ (рис. 5.18).

a)

б)

Рис. 5.18

Для решения задачи нам необходимо найти величину углов $ \angle AOB $ и $ \angle PQR $ для каждого случая, найти их разность, а затем построить полученный угол на клетчатой бумаге. Для определения величины углов будем использовать векторы и их координаты, принимая сторону одной клетки за единицу.

а) Рассмотрим первый случай, изображенный на рисунке 5.18 а).

1. Определим векторы, образующие углы.

Для угла $ \angle AOB $, поместим вершину O в начало координат (0,0). Тогда луч OA проходит через точку с координатами (2, -1), а луч OB — через точку с координатами (-1, 2). Таким образом, угол образован векторами $ \vec{OA} = (2, -1) $ и $ \vec{OB} = (-1, 2) $.

Для угла $ \angle PQR $, поместим вершину Q в начало координат (0,0). Тогда луч QP проходит через точку (2, 1), а луч QR — через точку (1, 2). Угол образован векторами $ \vec{QP} = (2, 1) $ и $ \vec{QR} = (1, 2) $.

2. Найдем связь между углами.

Заметим интересную связь между векторами этих двух углов. Выполним поворот векторов угла $ \angle PQR $ на $ 90^\circ $ против часовой стрелки. Поворот вектора $ (x, y) $ на $ 90^\circ $ против часовой стрелки дает вектор $ (-y, x) $.

Повернем вектор $ \vec{QP}=(2, 1) $: $ R_{90}(\vec{QP}) = (-1, 2) $. Этот вектор совпадает с вектором $ \vec{OB} $.

Повернем вектор $ \vec{QR}=(1, 2) $: $ R_{90}(\vec{QR}) = (-2, 1) $. Назовем этот вектор $ \vec{S} $. Вектор $ \vec{OA}=(2, -1) $ является противоположным вектору $ \vec{S} $, то есть $ \vec{OA} = -\vec{S} $.

Эти соотношения означают, что угол $ \angle AOB $ связан с углом $ \angle PQR $. Если $ \alpha $ - угол, то $ \angle AOB = 180^\circ - \angle PQR $.

3. Найдем разность углов.

Нам нужно найти $ \angle AOB - \angle PQR $. Подставим найденное соотношение:

$ \angle AOB - \angle PQR = (180^\circ - \angle PQR) - \angle PQR = 180^\circ - 2 \angle PQR $.

4. Вычислим косинус искомого угла.

Сначала найдем косинус угла $ \angle PQR $ по формуле скалярного произведения векторов $ \cos(\gamma) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} $:

$ \cos(\angle PQR) = \frac{\vec{QP} \cdot \vec{QR}}{|\vec{QP}| |\vec{QR}|} = \frac{(2)(1) + (1)(2)}{\sqrt{2^2+1^2} \sqrt{1^2+2^2}} = \frac{4}{\sqrt{5} \sqrt{5}} = \frac{4}{5} $.

Теперь найдем косинус искомого угла $ \delta = 180^\circ - 2 \angle PQR $:

$ \cos(\delta) = \cos(180^\circ - 2 \angle PQR) = -\cos(2 \angle PQR) $.

Используя формулу двойного угла $ \cos(2\gamma) = 2\cos^2(\gamma) - 1 $:

$ \cos(2 \angle PQR) = 2 \left(\frac{4}{5}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{16}{25} - 1 = \frac{32}{25} - \frac{25}{25} = \frac{7}{25} $.

Следовательно, $ \cos(\delta) = - \frac{7}{25} $.

5. Построим искомый угол.

Нам нужно построить на клетчатой бумаге угол $ \delta $, косинус которого равен $ -7/25 $. Для этого найдем два вектора с целочисленными координатами, исходящие из одной вершины, угол между которыми имеет такой косинус. Удобно выбрать векторы одинаковой длины. Длина, содержащая множитель 25, может быть получена из Пифагоровой тройки (3, 4, 5), так как $ 5 \times 5 = 25 $.

Пусть векторы $ \vec{u} $ и $ \vec{v} $ имеют длину 5. Например, $ \vec{u} = (4, 3) $. Найдем вектор $ \vec{v} $, также длины 5, например $ \vec{v}=(-4, 3) $. Скалярное произведение этих векторов: $ \vec{u} \cdot \vec{v} = (4)(-4) + (3)(3) = -16+9 = -7 $.

Косинус угла между ними: $ \cos(\delta) = \frac{-7}{\sqrt{4^2+3^2}\sqrt{(-4)^2+3^2}} = \frac{-7}{\sqrt{25}\sqrt{25}} = -\frac{7}{25} $.

Таким образом, искомый угол можно построить, отложив от одной вершины O' векторы $ (4, 3) $ и $ (-4, 3) $.

Ответ:

Изображение искомого угла (назовем его $ \angle M O' N $):

б) Рассмотрим второй случай, изображенный на рисунке 5.18 б).

1. Определим углы.

Угол $ \angle AOB $ такой же, как и в случае а). Векторы $ \vec{OA} = (2, -1) $ и $ \vec{OB} = (-1, 2) $.

Для угла $ \angle PQR $, поместим вершину Q в начало координат (0,0). Луч QP проходит через точку (2, 1), значит вектор $ \vec{QP} = (2, 1) $. Луч QR является вертикальным и направлен вверх, его можно представить вектором $ \vec{QR} = (0, 1) $.

2. Выразим углы через арктангенсы.

Для удобства введем базовые углы: $ \alpha = \arctan(1/2) $ и $ \beta = \arctan(2) $. Заметим, что $ \alpha + \beta = 90^\circ $.

Угол $ \angle PQR $ образован лучом с наклоном $ 1/2 $ (угол с горизонталью $ \alpha $) и вертикальным лучом (угол с горизонталью $ 90^\circ $). Следовательно, $ \angle PQR = 90^\circ - \alpha = \beta = \arctan(2) $.

Угол $ \angle AOB $ образован лучами с тангенсами углов к горизонтали $ -1/2 $ и $ -2 $. Как было показано в пункте а), угол между ними можно выразить через $ \alpha $ и $ \beta $: $ \angle AOB = 180^\circ - (\beta - \alpha) $.

3. Найдем разность углов.

$ D = \angle AOB - \angle PQR = (180^\circ - (\beta - \alpha)) - \beta = 180^\circ - 2\beta + \alpha $.

Так как $ \beta = 90^\circ - \alpha $, подставим это в выражение:

$ D = 180^\circ - 2(90^\circ - \alpha) + \alpha = 180^\circ - 180^\circ + 2\alpha + \alpha = 3\alpha $.

Итак, искомый угол равен $ 3\arctan(1/2) $.

4. Найдем тангенс искомого угла.

Найдем тангенс угла $ D = 3\alpha $, зная, что $ \tan(\alpha) = 1/2 $.

$ \tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} = \frac{2 \cdot (1/2)}{1 - (1/2)^2} = \frac{1}{1-1/4} = \frac{1}{3/4} = 4/3 $.

$ \tan(3\alpha) = \tan(2\alpha + \alpha) = \frac{\tan(2\alpha) + \tan\alpha}{1 - \tan(2\alpha)\tan\alpha} = \frac{4/3 + 1/2}{1 - (4/3)(1/2)} = \frac{11/6}{1 - 2/3} = \frac{11/6}{1/3} = \frac{11}{2} $.

5. Построим искомый угол.

Нам нужно построить угол, тангенс которого равен $ 11/2 $. Для этого на клетчатой бумаге из вершины O' отложим горизонтальный отрезок длиной 2 клетки (до точки M), а затем из точки M отложим вертикальный отрезок длиной 11 клеток (до точки N). Искомым будет угол $ \angle NO'M $.

Ответ:

Изображение искомого угла (назовем его $ \angle NO'M $):