Номер 5.20, страница 30 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

5.20. На клетчатой бумаге изобразите угол, равный разности углов:

а) С и В (рис 5.25, а);

б) В и С (рис. 5.25, б).

Рис. 5.25

а) Найдем разность углов C и B, изображенных на рисунке 5.25, а).

Углы B и C являются внутренними углами трапеции. Стороны BA и CD трапеции параллельны друг другу (горизонтальные линии сетки). Отрезок BC является секущей. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна $180^\circ$, следовательно, $\angle C + \angle B = 180^\circ$.

Нам нужно найти и изобразить угол, равный разности $\angle C - \angle B$.Выразим эту разность через угол $\angle B$:

$\angle C - \angle B = (180^\circ - \angle B) - \angle B = 180^\circ - 2\angle B$.

Теперь определим величину угла B. Угол B ($\angle ABC$) образован горизонтальным лучом BA и лучом BC. Из рисунка видно, что луч BC проходит через узел сетки, который смещен на 1 клетку вправо и 2 клетки вверх относительно точки B. Таким образом, тангенс угла B (угла наклона прямой BC к горизонтали) равен $tg(\angle B) = \frac{2}{1} = 2$.

Пусть искомый угол равен $\delta$. Тогда $\delta = 180^\circ - 2\angle B$. Найдем тангенс этого угла, используя тригонометрические формулы:

$tg(\delta) = tg(180^\circ - 2\angle B) = -tg(2\angle B)$.

По формуле тангенса двойного угла:

$tg(2\angle B) = \frac{2tg(\angle B)}{1 - tg^2(\angle B)} = \frac{2 \cdot 2}{1 - 2^2} = \frac{4}{1-4} = -\frac{4}{3}$.

Следовательно, $tg(\delta) = -(-\frac{4}{3}) = \frac{4}{3}$.

Чтобы построить на клетчатой бумаге угол, тангенс которого равен $4/3$, можно построить прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 клетки. Угол, лежащий против катета в 4 клетки, будет искомым.

Ответ: Искомый угол — это острый угол, тангенс которого равен $4/3$. Его изображение представлено на рисунке выше.

б) Найдем разность углов B и C, изображенных на рисунке 5.25, б).

Угол B ($\angle ABC$) — это внутренний угол, образованный вертикальным отрезком AB и наклонным отрезком BC. Отрезок BC соединяет точки, смещенные друг относительно друга на 1 клетку по горизонтали и 1 клетку по вертикали. Это означает, что прямая BC образует угол $45^\circ$ с вертикальными и горизонтальными линиями. Поскольку угол B тупой (видно из рисунка), его величина равна $90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$.

Угол C ($\angle BCD$) — это внутренний угол, образованный горизонтальным отрезком CD и наклонным отрезком CB. Как мы уже определили, прямая BC образует угол $45^\circ$ с горизонталью. Поскольку угол C также тупой, его величина равна $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Таким образом, углы B и C равны: $\angle B = \angle C = 135^\circ$.

Искомая разность углов равна:

$\angle B - \angle C = 135^\circ - 135^\circ = 0^\circ$.

Угол в $0^\circ$ представляет собой луч, так как его стороны совпадают. На клетчатой бумаге он будет выглядеть как один луч.

Ответ: Разность углов B и C равна $0^\circ$. Изображением такого угла является луч, как показано на рисунке выше.