Номер 5.19, страница 30 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

5.19. Есть ли ошибка на рисунках: а) 5.23; б) 5.24? Объясните ответ.

а) 5.23

На рисунке 5.23 изображены две пересекающиеся прямые $KM$ и $LN$, пересекающиеся в точке $O$.

Указаны углы: $\angle LOM = 120^\circ$, $\angle KOP = 60^\circ$.

Рис. 5.23

б) 5.24

На рисунке 5.24 изображены три прямые $AE$, $BF$, $CD$, пересекающиеся в точке $O$.

Указаны углы: $\angle BOC = 115^\circ$, $\angle DOE = 30^\circ$, $\angle AOF = 55^\circ$.

Рис. 5.24

а) 5.23

Чтобы определить, есть ли ошибка на рисунке 5.23, проверим, выполняются ли основные свойства углов, образованных при пересечении прямых.

На рисунке изображены две пересекающиеся прямые $KM$ и $LN$, а также луч $OP$. Даны углы $\angle LOM = 120^\circ$ и $\angle KOP = 60^\circ$.

1. Углы $\angle LOM$ и $\angle LOK$ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол на прямой $KM$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.
Следовательно, $\angle LOK = 180^\circ - \angle LOM = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

2. Углы $\angle LOM$ и $\angle KON$ являются вертикальными. Вертикальные углы равны.
Следовательно, $\angle KON = \angle LOM = 120^\circ$.

3. Углы $\angle LOK$ и $\angle MON$ также являются вертикальными.
Следовательно, $\angle MON = \angle LOK = 60^\circ$.

4. Проверим согласованность с углом $\angle KOP = 60^\circ$. Из рисунка видно, что луч $OP$ находится внутри угла $\angle KON$. Значит, должно выполняться равенство $\angle KON = \angle KOP + \angle PON$.
Подставим известные значения: $120^\circ = 60^\circ + \angle PON$. Отсюда находим $\angle PON = 120^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.

5. Теперь проверим, выполняются ли другие свойства. Например, углы, расположенные по одну сторону от прямой $KM$, должны в сумме давать $180^\circ$. Сумма углов под прямой $KM$ равна $\angle KOP + \angle PON + \angle NOM$.
$\angle KOP + \angle PON + \angle NOM = 60^\circ + 60^\circ + 60^\circ = 180^\circ$.
Это соответствует развернутому углу на прямой $KM$.

6. Также проверим углы вдоль прямой $LN$. Угол $\angle LON$ — развернутый и равен $180^\circ$. Он состоит из углов $\angle LOP$ и $\angle PON$.
Найдем $\angle LOP = \angle LOK + \angle KOP = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.
Тогда $\angle LOP + \angle PON = 120^\circ + 60^\circ = 180^\circ$. Это соответствует развернутому углу на прямой $LN$.

Все угловые соотношения выполняются. Следовательно, на рисунке нет ошибки.

Ответ: на рисунке 5.23 ошибки нет.

б) 5.24

Чтобы определить, есть ли ошибка на рисунке 5.24, проверим, выполняются ли свойства углов, образованных при пересечении трех прямых.

На рисунке изображены три прямые $AD$, $BE$ и $CF$, пересекающиеся в точке $O$. Даны углы $\angle BOC = 115^\circ$, $\angle AOF = 55^\circ$ и $\angle DOE = 30^\circ$.

1. Рассмотрим прямую $BE$. Угол $\angle BOE$ является развернутым и равен $180^\circ$. Из рисунка видно, что этот угол состоит из трех углов: $\angle BOC$, $\angle COD$ и $\angle DOE$.
Следовательно, должно выполняться равенство $\angle BOE = \angle BOC + \angle COD + \angle DOE = 180^\circ$.

2. Нам известны значения двух из трех углов: $\angle BOC = 115^\circ$ и $\angle DOE = 30^\circ$. Найдем величину угла $\angle COD$.

3. Углы $\angle COD$ и $\angle AOF$ являются вертикальными, так как они образованы пересечением прямых $AD$ и $CF$. Вертикальные углы равны.
По условию $\angle AOF = 55^\circ$, значит $\angle COD = 55^\circ$.

4. Теперь найдем сумму углов, составляющих развернутый угол $\angle BOE$.
$\angle BOC + \angle COD + \angle DOE = 115^\circ + 55^\circ + 30^\circ = 170^\circ + 30^\circ = 200^\circ$.

5. Полученная сумма $200^\circ$ не равна $180^\circ$. Это является противоречием, так как угол на прямой линии должен быть равен $180^\circ$.
$200^\circ \neq 180^\circ$.

Следовательно, на рисунке допущена ошибка в значениях углов.

Ответ: на рисунке 5.24 есть ошибка.