Номер 5.17, страница 29 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

5.17. Какая прямая, из указанных на рисунке 5.22, перпендикулярна прямой:

а) а;

б) b;

в) с;

г) d?

Рис. 5.22

Для решения задачи определим угловые коэффициенты (наклоны) прямых, изображенных на рисунке. Введем декартову систему координат, поместив ее начало (0, 0) в общую точку пересечения прямых. Оси координат направим вдоль линий сетки. Будем считать, что сторона каждой квадратной клетки равна 1.

Угловой коэффициент $k$ прямой, проходящей через начало координат и точку с координатами $(x, y)$, вычисляется по формуле $k = \frac{y}{x}$.

Найдем угловые коэффициенты для прямых, содержащих лучи a, b, c и d, определяя по сетке координаты точек, через которые они проходят:

Прямая a проходит через точку с координатами $(-1, 2)$. Ее угловой коэффициент: $k_a = \frac{2}{-1} = -2$.
Прямая b проходит через точку с координатами $(2, 1)$. Ее угловой коэффициент: $k_b = \frac{1}{2}$.
Прямая c проходит через точку с координатами $(1, 2)$. Ее угловой коэффициент: $k_c = \frac{2}{1} = 2$.
Прямая d проходит через точку с координатами $(2, -1)$. Ее угловой коэффициент: $k_d = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$.

Две прямые на плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно $-1$ (за исключением случая вертикальной и горизонтальной прямых). То есть, если прямые имеют угловые коэффициенты $k_1$ и $k_2$, то условие их перпендикулярности: $k_1 \cdot k_2 = -1$.

а) a

Ищем прямую, перпендикулярную прямой a. Угловой коэффициент прямой a равен $k_a = -2$. Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой $k_{perp}$ должен удовлетворять условию $k_a \cdot k_{perp} = -1$. Отсюда $k_{perp} = \frac{-1}{k_a} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$. Среди указанных прямых, угловой коэффициент, равный $\frac{1}{2}$, имеет прямая b. Следовательно, прямая b перпендикулярна прямой a.

Ответ: b.

б) b

Ищем прямую, перпендикулярную прямой b. Угловой коэффициент прямой b равен $k_b = \frac{1}{2}$. Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой $k_{perp}$ должен удовлетворять условию $k_b \cdot k_{perp} = -1$. Отсюда $k_{perp} = \frac{-1}{k_b} = \frac{-1}{1/2} = -2$. Среди указанных прямых, угловой коэффициент, равный $-2$, имеет прямая a. Следовательно, прямая a перпендикулярна прямой b.

Ответ: a.

в) c

Ищем прямую, перпендикулярную прямой c. Угловой коэффициент прямой c равен $k_c = 2$. Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой $k_{perp}$ должен удовлетворять условию $k_c \cdot k_{perp} = -1$. Отсюда $k_{perp} = \frac{-1}{k_c} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$. Среди указанных прямых, угловой коэффициент, равный $-\frac{1}{2}$, имеет прямая d. Следовательно, прямая d перпендикулярна прямой c.

Ответ: d.

г) d

Ищем прямую, перпендикулярную прямой d. Угловой коэффициент прямой d равен $k_d = -\frac{1}{2}$. Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой $k_{perp}$ должен удовлетворять условию $k_d \cdot k_{perp} = -1$. Отсюда $k_{perp} = \frac{-1}{k_d} = \frac{-1}{-1/2} = 2$. Среди указанных прямых, угловой коэффициент, равный $2$, имеет прямая c. Следовательно, прямая c перпендикулярна прямой d.

Ответ: c.