Номер 5.21, страница 30 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

5.21. Докажите, что если два угла равны, то равны и смежные им углы.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся определением и свойством смежных углов.

Дано:

Пусть есть два равных угла, $\angle 1$ и $\angle 2$. То есть, $\angle 1 = \angle 2$.

Пусть $\angle 3$ — это угол, смежный с $\angle 1$.

Пусть $\angle 4$ — это угол, смежный с $\angle 2$.

Доказать:

Смежные углы $\angle 3$ и $\angle 4$ равны, то есть $\angle 3 = \angle 4$.

Доказательство:

1. По определению, смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$.

2. Углы $\angle 1$ и $\angle 3$ являются смежными, следовательно, их сумма равна $180^\circ$:

$\angle 1 + \angle 3 = 180^\circ$

3. Из этого равенства выразим величину угла $\angle 3$:

$\angle 3 = 180^\circ - \angle 1$

4. Аналогично, углы $\angle 2$ и $\angle 4$ являются смежными, поэтому их сумма также равна $180^\circ$:

$\angle 2 + \angle 4 = 180^\circ$

5. Выразим величину угла $\angle 4$:

$\angle 4 = 180^\circ - \angle 2$

6. Теперь сравним выражения для $\angle 3$ и $\angle 4$. По условию задачи нам дано, что $\angle 1 = \angle 2$.

7. Если в выражении для $\angle 3$ заменить $\angle 1$ на равный ему $\angle 2$, мы получим:

$\angle 3 = 180^\circ - \angle 2$

8. Таким образом, мы имеем два равенства:

$\angle 3 = 180^\circ - \angle 2$

$\angle 4 = 180^\circ - \angle 2$

Поскольку правые части этих равенств одинаковы, то должны быть равны и левые части. Следовательно, $\angle 3 = \angle 4$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если два угла ($\angle 1$ и $\angle 2$) равны, то и смежные им углы ($\angle 3$ и $\angle 4$) равны. Это следует из свойства смежных углов (их сумма равна $180^\circ$). Поскольку $\angle 3 = 180^\circ - \angle 1$ и $\angle 4 = 180^\circ - \angle 2$, а $\angle 1 = \angle 2$, то и $\angle 3 = \angle 4$.