Страница 30 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

5.18. Лодка плыла сначала на юг, затем повернула на $90^\circ$. В каком направлении она теперь плывет? Сколько решений имеет задача?

Для решения задачи представим себе стороны света. Если лодка плывет на юг, то при повороте на $90^\circ$ возможны два варианта, так как в условии не указано направление поворота (налево или направо).

Наглядно это можно представить с помощью схемы:

В каком направлении она теперь плывет?

Рассмотрим оба возможных случая:

1. Поворот направо (по часовой стрелке). Если лодка, плывущая на юг, поворачивает направо на $90^\circ$, она будет плыть на запад.

2. Поворот налево (против часовой стрелки). Если лодка, плывущая на юг, поворачивает налево на $90^\circ$, она будет плыть на восток.

Ответ: лодка теперь плывет на запад или на восток.

Сколько решений имеет задача?

Поскольку в условии задачи не уточнено, в какую сторону был совершен поворот (налево или направо), существуют два равновероятных и правильных ответа на вопрос о конечном направлении движения. Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: задача имеет два решения.

5.19. Есть ли ошибка на рисунках: а) 5.23; б) 5.24? Объясните ответ.

а) 5.23

На рисунке 5.23 изображены две пересекающиеся прямые $KM$ и $LN$, пересекающиеся в точке $O$.

Указаны углы: $\angle LOM = 120^\circ$, $\angle KOP = 60^\circ$.

Рис. 5.23

б) 5.24

На рисунке 5.24 изображены три прямые $AE$, $BF$, $CD$, пересекающиеся в точке $O$.

Указаны углы: $\angle BOC = 115^\circ$, $\angle DOE = 30^\circ$, $\angle AOF = 55^\circ$.

Рис. 5.24

а) 5.23

Чтобы определить, есть ли ошибка на рисунке 5.23, проверим, выполняются ли основные свойства углов, образованных при пересечении прямых.

На рисунке изображены две пересекающиеся прямые $KM$ и $LN$, а также луч $OP$. Даны углы $\angle LOM = 120^\circ$ и $\angle KOP = 60^\circ$.

1. Углы $\angle LOM$ и $\angle LOK$ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол на прямой $KM$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.
Следовательно, $\angle LOK = 180^\circ - \angle LOM = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

2. Углы $\angle LOM$ и $\angle KON$ являются вертикальными. Вертикальные углы равны.
Следовательно, $\angle KON = \angle LOM = 120^\circ$.

3. Углы $\angle LOK$ и $\angle MON$ также являются вертикальными.
Следовательно, $\angle MON = \angle LOK = 60^\circ$.

4. Проверим согласованность с углом $\angle KOP = 60^\circ$. Из рисунка видно, что луч $OP$ находится внутри угла $\angle KON$. Значит, должно выполняться равенство $\angle KON = \angle KOP + \angle PON$.
Подставим известные значения: $120^\circ = 60^\circ + \angle PON$. Отсюда находим $\angle PON = 120^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.

5. Теперь проверим, выполняются ли другие свойства. Например, углы, расположенные по одну сторону от прямой $KM$, должны в сумме давать $180^\circ$. Сумма углов под прямой $KM$ равна $\angle KOP + \angle PON + \angle NOM$.
$\angle KOP + \angle PON + \angle NOM = 60^\circ + 60^\circ + 60^\circ = 180^\circ$.
Это соответствует развернутому углу на прямой $KM$.

6. Также проверим углы вдоль прямой $LN$. Угол $\angle LON$ — развернутый и равен $180^\circ$. Он состоит из углов $\angle LOP$ и $\angle PON$.
Найдем $\angle LOP = \angle LOK + \angle KOP = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.
Тогда $\angle LOP + \angle PON = 120^\circ + 60^\circ = 180^\circ$. Это соответствует развернутому углу на прямой $LN$.

Все угловые соотношения выполняются. Следовательно, на рисунке нет ошибки.

Ответ: на рисунке 5.23 ошибки нет.

б) 5.24

Чтобы определить, есть ли ошибка на рисунке 5.24, проверим, выполняются ли свойства углов, образованных при пересечении трех прямых.

На рисунке изображены три прямые $AD$, $BE$ и $CF$, пересекающиеся в точке $O$. Даны углы $\angle BOC = 115^\circ$, $\angle AOF = 55^\circ$ и $\angle DOE = 30^\circ$.

1. Рассмотрим прямую $BE$. Угол $\angle BOE$ является развернутым и равен $180^\circ$. Из рисунка видно, что этот угол состоит из трех углов: $\angle BOC$, $\angle COD$ и $\angle DOE$.
Следовательно, должно выполняться равенство $\angle BOE = \angle BOC + \angle COD + \angle DOE = 180^\circ$.

2. Нам известны значения двух из трех углов: $\angle BOC = 115^\circ$ и $\angle DOE = 30^\circ$. Найдем величину угла $\angle COD$.

3. Углы $\angle COD$ и $\angle AOF$ являются вертикальными, так как они образованы пересечением прямых $AD$ и $CF$. Вертикальные углы равны.
По условию $\angle AOF = 55^\circ$, значит $\angle COD = 55^\circ$.

4. Теперь найдем сумму углов, составляющих развернутый угол $\angle BOE$.
$\angle BOC + \angle COD + \angle DOE = 115^\circ + 55^\circ + 30^\circ = 170^\circ + 30^\circ = 200^\circ$.

5. Полученная сумма $200^\circ$ не равна $180^\circ$. Это является противоречием, так как угол на прямой линии должен быть равен $180^\circ$.
$200^\circ \neq 180^\circ$.

Следовательно, на рисунке допущена ошибка в значениях углов.

Ответ: на рисунке 5.24 есть ошибка.

5.20. На клетчатой бумаге изобразите угол, равный разности углов:

а) С и В (рис 5.25, а);

б) В и С (рис. 5.25, б).

Рис. 5.25

а) Найдем разность углов C и B, изображенных на рисунке 5.25, а).

Углы B и C являются внутренними углами трапеции. Стороны BA и CD трапеции параллельны друг другу (горизонтальные линии сетки). Отрезок BC является секущей. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна $180^\circ$, следовательно, $\angle C + \angle B = 180^\circ$.

Нам нужно найти и изобразить угол, равный разности $\angle C - \angle B$.Выразим эту разность через угол $\angle B$:

$\angle C - \angle B = (180^\circ - \angle B) - \angle B = 180^\circ - 2\angle B$.

Теперь определим величину угла B. Угол B ($\angle ABC$) образован горизонтальным лучом BA и лучом BC. Из рисунка видно, что луч BC проходит через узел сетки, который смещен на 1 клетку вправо и 2 клетки вверх относительно точки B. Таким образом, тангенс угла B (угла наклона прямой BC к горизонтали) равен $tg(\angle B) = \frac{2}{1} = 2$.

Пусть искомый угол равен $\delta$. Тогда $\delta = 180^\circ - 2\angle B$. Найдем тангенс этого угла, используя тригонометрические формулы:

$tg(\delta) = tg(180^\circ - 2\angle B) = -tg(2\angle B)$.

По формуле тангенса двойного угла:

$tg(2\angle B) = \frac{2tg(\angle B)}{1 - tg^2(\angle B)} = \frac{2 \cdot 2}{1 - 2^2} = \frac{4}{1-4} = -\frac{4}{3}$.

Следовательно, $tg(\delta) = -(-\frac{4}{3}) = \frac{4}{3}$.

Чтобы построить на клетчатой бумаге угол, тангенс которого равен $4/3$, можно построить прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 клетки. Угол, лежащий против катета в 4 клетки, будет искомым.

Ответ: Искомый угол — это острый угол, тангенс которого равен $4/3$. Его изображение представлено на рисунке выше.

б) Найдем разность углов B и C, изображенных на рисунке 5.25, б).

Угол B ($\angle ABC$) — это внутренний угол, образованный вертикальным отрезком AB и наклонным отрезком BC. Отрезок BC соединяет точки, смещенные друг относительно друга на 1 клетку по горизонтали и 1 клетку по вертикали. Это означает, что прямая BC образует угол $45^\circ$ с вертикальными и горизонтальными линиями. Поскольку угол B тупой (видно из рисунка), его величина равна $90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$.

Угол C ($\angle BCD$) — это внутренний угол, образованный горизонтальным отрезком CD и наклонным отрезком CB. Как мы уже определили, прямая BC образует угол $45^\circ$ с горизонталью. Поскольку угол C также тупой, его величина равна $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Таким образом, углы B и C равны: $\angle B = \angle C = 135^\circ$.

Искомая разность углов равна:

$\angle B - \angle C = 135^\circ - 135^\circ = 0^\circ$.

Угол в $0^\circ$ представляет собой луч, так как его стороны совпадают. На клетчатой бумаге он будет выглядеть как один луч.

Ответ: Разность углов B и C равна $0^\circ$. Изображением такого угла является луч, как показано на рисунке выше.

5.21. Докажите, что если два угла равны, то равны и смежные им углы.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся определением и свойством смежных углов.

Дано:

Пусть есть два равных угла, $\angle 1$ и $\angle 2$. То есть, $\angle 1 = \angle 2$.

Пусть $\angle 3$ — это угол, смежный с $\angle 1$.

Пусть $\angle 4$ — это угол, смежный с $\angle 2$.

Доказать:

Смежные углы $\angle 3$ и $\angle 4$ равны, то есть $\angle 3 = \angle 4$.

Доказательство:

1. По определению, смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$.

2. Углы $\angle 1$ и $\angle 3$ являются смежными, следовательно, их сумма равна $180^\circ$:

$\angle 1 + \angle 3 = 180^\circ$

3. Из этого равенства выразим величину угла $\angle 3$:

$\angle 3 = 180^\circ - \angle 1$

4. Аналогично, углы $\angle 2$ и $\angle 4$ являются смежными, поэтому их сумма также равна $180^\circ$:

$\angle 2 + \angle 4 = 180^\circ$

5. Выразим величину угла $\angle 4$:

$\angle 4 = 180^\circ - \angle 2$

6. Теперь сравним выражения для $\angle 3$ и $\angle 4$. По условию задачи нам дано, что $\angle 1 = \angle 2$.

7. Если в выражении для $\angle 3$ заменить $\angle 1$ на равный ему $\angle 2$, мы получим:

$\angle 3 = 180^\circ - \angle 2$

8. Таким образом, мы имеем два равенства:

$\angle 3 = 180^\circ - \angle 2$

$\angle 4 = 180^\circ - \angle 2$

Поскольку правые части этих равенств одинаковы, то должны быть равны и левые части. Следовательно, $\angle 3 = \angle 4$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если два угла ($\angle 1$ и $\angle 2$) равны, то и смежные им углы ($\angle 3$ и $\angle 4$) равны. Это следует из свойства смежных углов (их сумма равна $180^\circ$). Поскольку $\angle 3 = 180^\circ - \angle 1$ и $\angle 4 = 180^\circ - \angle 2$, а $\angle 1 = \angle 2$, то и $\angle 3 = \angle 4$.

5.22. Один из двух углов, образованных при пересечении двух прямых, на $20^\circ$ меньше другого. Найдите эти углы.

При пересечении двух прямых образуются два вида пар углов: вертикальные и смежные. Вертикальные углы равны между собой. Если бы в задаче речь шла о них, то условие «один на $20^\circ$ меньше другого» было бы невыполнимым, так как уравнение $x = x - 20^\circ$ не имеет решений. Следовательно, в задаче рассматриваются смежные углы.

Смежные углы — это углы, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.

Пусть величина большего угла равна $x$, а меньшего — $y$. Составим систему уравнений на основе условия задачи:

1. $x + y = 180^\circ$ (по свойству смежных углов).

2. $y = x - 20^\circ$ (по условию задачи).

Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$x + (x - 20^\circ) = 180^\circ$

Решим полученное уравнение:

$2x - 20^\circ = 180^\circ$

$2x = 180^\circ + 20^\circ$

$2x = 200^\circ$

$x = \frac{200^\circ}{2}$

$x = 100^\circ$

Теперь найдем величину второго угла, подставив значение $x$ во второе уравнение:

$y = 100^\circ - 20^\circ$

$y = 80^\circ$

Проверка: $100^\circ + 80^\circ = 180^\circ$ и $100^\circ - 80^\circ = 20^\circ$. Условия задачи выполнены.

Следовательно, искомые углы равны $80^\circ$ и $100^\circ$.

Ответ: $80^\circ, 100^\circ$.