Страница 36 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

6.20. Колесо зубчатой передачи имеет 72 зуба (рис. 6.10). Сколько градусов содержится в дуге окружности, заключенной между серединами двух соседних зубцов?

Рис. 6.10

Рис. 6.11

Для решения этой задачи необходимо использовать знание о том, что полная окружность составляет 360 градусов.

Зубчатое колесо, согласно условию, имеет 72 зубца. Эти зубцы расположены равномерно по всей окружности. Это означает, что они делят всю окружность на 72 равных сектора. На рисунке 6.10 показан один такой сектор, ограниченный линиями, проведенными из центра колеса к серединам двух соседних зубцов.

Чтобы найти, сколько градусов содержится в дуге между серединами двух соседних зубцов, нужно разделить общее количество градусов в окружности на количество зубцов.

Формула для расчета выглядит следующим образом:

$ \text{Угол дуги} = \frac{\text{Градусная мера полной окружности}}{\text{Количество зубцов}} $

Подставим известные значения в формулу:

$ \frac{360^\circ}{72} $

Выполним деление:

$ 360 \div 72 = 5 $

Таким образом, дуга окружности, заключенная между серединами двух соседних зубцов, содержит 5 градусов.

Ответ: $5^\circ$

6.21. Сколько оборотов в минуту делает зубчатое колесо с 32 зубцами, если сцепленное с ним зубчатое колесо с 8 зубцами делает 12 оборотов в минуту (рис. 6.11)?

Рис. 6.11

Для решения этой задачи нужно понять, как связаны между собой количество зубцов и скорость вращения сцепленных шестерен. Количество зубцов и число оборотов в минуту находятся в обратной пропорциональности. Это означает, что чем больше у колеса зубцов, тем медленнее оно вращается, и наоборот.

Пусть $z_1$ и $n_1$ — количество зубцов и число оборотов в минуту первого (большого) колеса, а $z_2$ и $n_2$ — те же параметры для второго (малого) колеса.

По условию задачи нам дано:

Количество зубцов первого колеса $z_1 = 32$.

Количество зубцов второго колеса $z_2 = 8$.

Число оборотов второго колеса $n_2 = 12$ оборотов в минуту.

Найти нужно число оборотов первого колеса $n_1$.

Так как величины обратно пропорциональны, их соотношение можно записать в виде пропорции:

$\frac{n_1}{n_2} = \frac{z_2}{z_1}$

Подставим известные значения в формулу:

$\frac{n_1}{12} = \frac{8}{32}$

Упростим дробь в правой части уравнения:

$\frac{n_1}{12} = \frac{1}{4}$

Теперь выразим $n_1$:

$n_1 = 12 \cdot \frac{1}{4}$

$n_1 = 3$

Таким образом, зубчатое колесо с 32 зубцами делает 3 оборота в минуту.

Ответ: 3 оборота в минуту.

6.22. Чему равен угол между минутной и часовой стрелками на часах в: а) 3 ч; б) 6 ч; в) 5 ч?

Для решения задачи необходимо определить угол, который образуют стрелки часов. Циферблат представляет собой окружность в $360^{\circ}$ и разделен на 12 часовых делений. Следовательно, угол между двумя соседними часовыми делениями составляет $360^{\circ} \div 12 = 30^{\circ}$.

Во всех указанных случаях время показано в ровных часах, без минут. Это значит, что минутная стрелка всегда будет указывать на 12 (начало отсчета), а часовая стрелка — точно на цифру, обозначающую час. Поэтому для нахождения искомого угла достаточно умножить указанный час на $30^{\circ}$.

а) 3 ч

В 3 часа часовая стрелка указывает на цифру 3, а минутная — на 12. Расстояние между ними составляет 3 часовых деления. Угол между стрелками равен:

$3 \times 30^{\circ} = 90^{\circ}$

Ответ: $90^{\circ}$.

б) 6 ч

В 6 часов часовая стрелка указывает на цифру 6, а минутная — на 12. Расстояние между ними составляет 6 часовых делений. Стрелки направлены в противоположные стороны, образуя развернутый угол. Угол между ними равен:

$6 \times 30^{\circ} = 180^{\circ}$

Ответ: $180^{\circ}$.

в) 5 ч

В 5 часов часовая стрелка указывает на цифру 5, а минутная — на 12. Расстояние между ними составляет 5 часовых делений. Угол между стрелками равен:

$5 \times 30^{\circ} = 150^{\circ}$

Ответ: $150^{\circ}$.

6.23. На сколько градусов повернется минутная стрелка за:

а) 20 мин; б) 10 мин; в) 50 мин?

Для решения задачи сначала определим, на какой угол поворачивается минутная стрелка за одну минуту. Полный оборот часов составляет $360^{\circ}$. Минутная стрелка совершает этот оборот за 60 минут.

Скорость поворота минутной стрелки равна:

$360^{\circ} \div 60 \text{ мин} = 6^{\circ}/\text{мин}$

Таким образом, за каждую минуту минутная стрелка поворачивается на $6^{\circ}$.

Теперь рассчитаем угол поворота для каждого из указанных промежутков времени.

а) За 20 минут минутная стрелка повернется на угол, равный произведению времени на скорость ее поворота:

$20 \text{ мин} \times 6^{\circ}/\text{мин} = 120^{\circ}$

Ответ: $120^{\circ}$

б) За 10 минут минутная стрелка повернется на угол:

$10 \text{ мин} \times 6^{\circ}/\text{мин} = 60^{\circ}$

Ответ: $60^{\circ}$

в) За 50 минут минутная стрелка повернется на угол:

$50 \text{ мин} \times 6^{\circ}/\text{мин} = 300^{\circ}$

Ответ: $300^{\circ}$

6.24. На сколько градусов повернется часовая стрелка за:

а) 1 ч;

б) 30 мин;

в) 20 мин?

Для того чтобы определить, на сколько градусов повернется часовая стрелка за указанные промежутки времени, необходимо сначала вычислить ее угловую скорость. Циферблат часов представляет собой окружность, которая содержит $360^\circ$. Часовая стрелка совершает полный оборот за 12 часов. Следовательно, ее скорость движения в градусах в час составляет: $v_{ч} = \frac{360^\circ}{12 \text{ ч}} = 30^\circ\text{/ч}$. Поскольку в одном часе 60 минут, мы можем также найти скорость в градусах в минуту: $v_{м} = \frac{30^\circ}{60 \text{ мин}} = 0.5^\circ\text{/мин}$. Используя эти значения, мы можем ответить на поставленные вопросы.

а) За 1 час часовая стрелка повернется на угол, равный ее часовой скорости. Расчет: $1 \text{ ч} \times 30^\circ\text{/ч} = 30^\circ$.
Ответ: $30^\circ$.

б) Чтобы найти угол поворота за 30 минут, умножим это время на минутную скорость стрелки. Расчет: $30 \text{ мин} \times 0.5^\circ\text{/мин} = 15^\circ$. Другой способ — учесть, что 30 минут — это половина часа ($\frac{1}{2}$ ч). Следовательно, угол поворота будет равен половине от угла за час: $\frac{1}{2} \times 30^\circ = 15^\circ$.
Ответ: $15^\circ$.

в) Аналогично, для 20 минут, умножим время на минутную скорость. Расчет: $20 \text{ мин} \times 0.5^\circ\text{/мин} = 10^\circ$. Также можно заметить, что 20 минут составляют одну треть часа ($\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ ч). Поэтому угол поворота составит одну треть от часового: $\frac{1}{3} \times 30^\circ = 10^\circ$.
Ответ: $10^\circ$.

6.25. Докажите, что биссектриса смежных углов образует прямой угол.

Для доказательства утверждения введем обозначения и воспользуемся определениями смежных углов и биссектрисы угла.

Пусть даны два смежных угла, $\angle AOC$ и $\angle BOC$. У них общая вершина $O$ и общая сторона $OC$. Стороны $OA$ и $OB$ лежат на одной прямой $AB$, образуя развернутый угол $\angle AOB = 180^\circ$.

По свойству смежных углов, их сумма равна $180^\circ$:

$\angle AOC + \angle BOC = 180^\circ$

Проведем луч $OM$ — биссектрису угла $\angle AOC$, и луч $ON$ — биссектрису угла $\angle BOC$. Ниже представлена иллюстрация.

Согласно определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла. Следовательно:

$\angle MOC = \frac{1}{2} \angle AOC$

$\angle NOC = \frac{1}{2} \angle BOC$

Угол, образованный биссектрисами $OM$ и $ON$, — это угол $\angle MON$. Он равен сумме углов $\angle MOC$ и $\angle NOC$, так как луч $OC$ проходит между лучами $OM$ и $ON$:

$\angle MON = \angle MOC + \angle NOC$

Теперь подставим в это равенство выражения для углов $\angle MOC$ и $\angle NOC$:

$\angle MON = \frac{1}{2} \angle AOC + \frac{1}{2} \angle BOC$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\angle MON = \frac{1}{2} (\angle AOC + \angle BOC)$

Мы знаем, что сумма смежных углов $\angle AOC + \angle BOC$ составляет $180^\circ$. Подставим это значение в нашу формулу:

$\angle MON = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$

Угол, величина которого равна $90^\circ$, является прямым углом. Таким образом, доказано, что биссектрисы смежных углов образуют прямой угол.

Ответ: Угол между биссектрисами смежных углов равен $90^\circ$, то есть является прямым, что и требовалось доказать.

6.26. На сколько градусов повернется Земля вокруг своей оси SN за 8 часов (рис. 6.12)?

Земля совершает полный оборот вокруг своей оси, равный $360^\circ$, примерно за 24 часа (одни сутки). Чтобы найти, на какой угол Земля поворачивается за один час, необходимо разделить градусную меру полного оборота на количество часов в сутках.

Вычислим угловую скорость вращения Земли:

$\text{Угловая скорость} = \frac{360^\circ}{24 \text{ ч}} = 15^\circ/\text{ч}$

Это означает, что за каждый час Земля поворачивается на $15$ градусов.

Теперь мы можем рассчитать, на сколько градусов повернется Земля за 8 часов. Для этого умножим угловую скорость на данное время:

$\text{Угол поворота} = 15^\circ/\text{ч} \times 8 \text{ ч} = 120^\circ$

Другой способ решения — с помощью пропорции. Пусть $x$ — это искомый угол поворота за 8 часов. Мы знаем, что за 24 часа Земля поворачивается на $360^\circ$. Составим пропорцию:

$\frac{24 \text{ ч}}{8 \text{ ч}} = \frac{360^\circ}{x}$

Отсюда найдем $x$:

$x = \frac{8 \text{ ч} \times 360^\circ}{24 \text{ ч}} = \frac{1}{3} \times 360^\circ = 120^\circ$

Ответ: за 8 часов Земля повернется вокруг своей оси на $120^\circ$.

6.27. За сколько часов Земля повернется вокруг своей оси на $90^\circ$ (рис. 6.12)?

Рис. 6.12

Для решения этой задачи необходимо знать, за какое время Земля совершает полный оборот вокруг своей оси. Полный оборот составляет $360^\circ$ и происходит за 24 часа (одни земные сутки).

Чтобы найти время, необходимое для поворота на $90^\circ$, можно воспользоваться пропорцией. Пусть $t$ — искомое время в часах.

Мы знаем, что повороту на $360^\circ$ соответствует время, равное $24$ часам. Повороту на $90^\circ$ соответствует неизвестное время $t$.

Составим пропорциональное соотношение:

$\frac{t}{90^\circ} = \frac{24 \text{ часа}}{360^\circ}$

Теперь выразим $t$ из этого уравнения:

$t = \frac{24 \text{ часа} \times 90^\circ}{360^\circ}$

Сократим дробь. Отношение $90^\circ$ к $360^\circ$ равно $\frac{90}{360} = \frac{1}{4}$.

$t = 24 \text{ часа} \times \frac{1}{4}$

$t = 6 \text{ часов}$

Таким образом, для поворота на $90^\circ$ Земле потребуется четверть суток.

Ответ: 6 часов.