Страница 37 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

6.28. Астролябия — один из первых угломерных инструментов, изобретенных Гиппархом (180–125 гг. до н. э.), и усовершенствованный впоследствии немецким ученым Региомонтаном (1436–1476 гг.).

Поскольку на изображении представлен фрагмент текста без явного вопроса, наиболее вероятной задачей является вычисление на основе приведенных в нем данных. Рассчитаем, сколько времени прошло между деятельностью Гиппарха и Региомонтана.

Вычисление промежутка времени

В тексте указаны следующие временные периоды:

1. Деятельность Гиппарха: 180–125 гг. до н. э.

2. Деятельность Региомонтана: 1436–1476 гг. н. э.

Чтобы найти, сколько времени разделяет эти две эпохи, вычислим количество полных лет между окончанием периода деятельности Гиппарха и началом периода деятельности Региомонтана.

Конец деятельности Гиппарха приходится на 125 год до н. э. Начало деятельности Региомонтана — на 1436 год н. э.

Расчет необходимо вести с учетом того, что в стандартном летоисчислении нет нулевого года, и после 1 года до н. э. сразу следует 1 год н. э.

Сначала посчитаем количество полных лет от конца 125 г. до н. э. до начала нашей эры. Этот период включает года со 124 г. до н. э. по 1 г. до н. э. включительно. Их количество равно $124$.

Затем посчитаем количество полных лет от начала нашей эры до начала 1436 г. н. э. Этот период включает года с 1 г. н. э. по 1435 г. н. э. включительно. Их количество равно $1435$.

Теперь сложим оба полученных значения, чтобы найти общий промежуток времени:

$124 + 1435 = 1559$ лет.

Таким образом, между усовершенствованием астролябии Региомонтаном и ее изобретением Гиппархом прошло не менее 1559 лет.

Ответ: 1559 лет.

6.29.Теодолит — наиболее совершенный угловой инструмент, который применяется для выполнения геодезических работ.

Что такое теодолит и его назначение

Теодолит, как указано в определении, является высокоточным геодезическим инструментом, предназначенным для измерения горизонтальных и вертикальных углов на местности. Эти измерения являются основой для большинства геодезических, топографических, маркшейдерских и строительных работ. С помощью теодолита определяют направления на различные точки, а разность этих направлений дает искомый угол. Точность современных теодолитов может достигать долей угловой секунды, что позволяет использовать их для создания государственных геодезических сетей и при строительстве уникальных сооружений, таких как мосты, тоннели и высотные здания.

Ответ: Теодолит — это угломерный инструмент, используемый в геодезии для точного измерения горизонтальных и вертикальных углов, что необходимо для создания карт, планов, строительства и других инженерных задач.

Основные части и устройство теодолита

Классический оптический теодолит состоит из нескольких ключевых узлов. Алидада — это вращающаяся часть инструмента, на которой закреплена зрительная труба и отсчетная система. Она вращается вокруг вертикальной оси прибора. Лимб — это горизонтальный стеклянный круг с нанесенными на него угловыми делениями (от 0° до 360°), который остается неподвижным при вращении алидады. Измерение горизонтального угла заключается в снятии отсчетов по лимбу. Зрительная труба служит для точного наведения на удаленные объекты. Она может вращаться в вертикальной плоскости. Вертикальный круг — это аналог лимба, но расположенный в вертикальной плоскости и жестко скрепленный со зрительной трубой; он служит для измерения вертикальных углов. Для приведения прибора в рабочее положение используются уровни (цилиндрический и круглый) и подъемные винты на подставке, называемой трегером. Вся конструкция устанавливается на прочный штатив.

Ответ: Основными частями теодолита являются алидада со зрительной трубой, горизонтальный круг (лимб), вертикальный круг, уровни и трегер для установки и выравнивания прибора.

Принцип работы и процесс измерений

Работа с теодолитом начинается с его установки на точке, координаты которой известны или должны быть определены. Процесс включает три основных этапа: центрирование, горизонтирование и непосредственно измерения. Центрирование — это точное совмещение вертикальной оси прибора с центром геодезического пункта на земле, что достигается с помощью нитяного или оптического отвеса. Горизонтирование — это приведение вертикальной оси прибора в отвесное положение (а плоскости лимба — в горизонтальное) с помощью уровней и подъемных винтов.
Для измерения горизонтального угла (например, угла $\beta$ между направлениями на точки A и B с точки стояния O) выполняют следующие действия:
1. Наводят зрительную трубу на левую точку (A) и снимают отсчет по горизонтальному кругу: $O_A$.
2. Наводят зрительную трубу на правую точку (B) и снимают отсчет: $O_B$.
3. Угол вычисляется как разность отсчетов: $\beta = O_B - O_A$. Для повышения точности измерения выполняют несколькими приемами, включая перестановку вертикального круга (из положения "круг лево" в "круг право").
Для измерения вертикального угла (угла наклона $\nu$) измеряют угол между направлением визирования и горизонтальной плоскостью. Отсчет снимается по вертикальному кругу. Для точного определения угла необходимо знать "место нуля" (МО) — отсчет по вертикальному кругу при горизонтальном положении зрительной трубы. Формула для вычисления угла наклона: $\nu = КЛ - МО$, где $КЛ$ — отсчет по вертикальному кругу.

Ответ: Принцип работы теодолита заключается в измерении разности направлений (отсчетов по градуированным кругам) на объекты для определения углов после точной установки прибора над точкой (центрирования и горизонтирования).

Применение теодолита в геодезических работах

Теодолиты являются основой для широкого спектра геодезических работ:
•Создание опорных геодезических сетей. Методами триангуляции (построение сети треугольников и измерение в них всех углов) и полигонометрии (проложение теодолитных ходов, в которых измеряются углы и длины сторон) создается каркас из точек с известными координатами, который служит основой для всех последующих съемок.
•Теодолитная (тахеометрическая) съемка. Это основной метод создания топографических планов и карт. С точек теодолитного хода измеряют углы и расстояния до объектов местности (зданий, деревьев, элементов рельефа и т.д.), что позволяет определить их плановое и высотное положение.
•Инженерно-геодезические изыскания и строительство. При строительстве теодолит используется для выноса проекта в натуру (разбивки осей зданий и сооружений), контроля вертикальности колонн и стен, монтажа технологического оборудования и наблюдения за деформациями готовых объектов.
•Кадастровые работы. Теодолит применяют для определения и закрепления на местности границ земельных участков.

Ответ: Теодолиты применяются для создания опорных сетей, топографической съемки, разбивочных работ в строительстве и определения границ земельных участков.

Современные виды угломерных инструментов

С развитием технологий на смену классическим оптическим теодолитам пришли более совершенные приборы.
Электронные теодолиты автоматизировали процесс снятия отсчета. Вместо наблюдения в микроскоп значения углов выводятся на цифровой дисплей, что исключает ошибки наблюдателя и ускоряет работу.
Электронные тахеометры — это следующий шаг эволюции. Они представляют собой комбинацию электронного теодолита и светодальномера (EDM). Такой прибор позволяет одновременно измерять горизонтальные и вертикальные углы, а также расстояние до точки. Встроенный микропроцессор позволяет сразу вычислять координаты точек $(X, Y, H)$, площади, превышения и решать другие геодезические задачи непосредственно в поле.
Роботизированные тахеометры и сканирующие системы (лазерные сканеры) — это наиболее современные инструменты, которые могут автоматически наводиться на цель (отражатель) и выполнять измерения без непосредственного участия оператора, а сканеры способны за короткое время создавать подробное трехмерное облако точек, описывающее поверхность объекта или местности.

Ответ: Современными аналогами и развитием теодолита являются электронные теодолиты, тахеометры (в том числе роботизированные) и лазерные сканеры, которые значительно автоматизируют и расширяют возможности геодезических измерений.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

1. Сколько прямых можно провести через одну точку:
А. Ни одной. В. Одну. С. Две. D. Бесконечно много?

2. Сколько прямых можно провести через две точки:
А. Бесконечно много. В. Две. С. Одну. D. Ни одной?

3. Какое наибольшее число общих точек могут иметь две прямые:
А. Ни одной. В. Одну. С. Две. D. Бесконечно много?

4. Сколько прямых можно провести через различные пары из трех точек, не принадлежащих одной прямой:
А. Одну. В. Две. С. Три. D. Бесконечно много?

5. Какое наибольшее число прямых можно провести через различные пары из четырех точек, три из которых не принадлежат одной прямой:
А. 4. В. 6. С. 8. D. 12?

6. Какое наибольшее число прямых можно провести через различные пары из пяти точек, три из которых не принадлежат одной прямой:
А. 5. В. 10. С. 15. D. 20?

7. Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь три прямые:
А. Одну. В. Две. С. Три. D. Бесконечно много?

8. Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь четыре прямые:
А. 4. В. 6. С. 8. D. 12?

9. Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь пять прямых:
А. 5. В. 10. С. 15. D. 20?

10. На прямой отмечены 4 точки. Сколько получилось отрезков с концами в этих точках:
А. 3. В. 4. С. 5. D. 6?

11. На луче $OA$ отложен отрезок $OB$, меньше отрезка $OA$. Какая из трех точек лежит между двумя другими:
А. A. В. O. С. B. D. Нельзя определить?

12. На прямой в одну сторону последовательно отложены три отрезка: $AB$, $BC$ и $CD$ так, что $AB = 3$ см, $BC = 5$ см, $CD = 4$ см. Найдите расстояние между серединами отрезков $AB$ и $CD$:
А. 6,5 см. В. 7,5 см. С. 8,5 см. D. 10,5 см.

13. Сколько имеется углов, смежных данному:
А. 1. В. 2. С. 3. D. 4?

14. Один из смежных углов равен $30^\circ$. Найдите другой угол:
А. $30^\circ$. В. $60^\circ$. С. $120^\circ$. D. $150^\circ$.

15. Один из смежных углов больше другого на $90^\circ$. Найдите эти углы:
А. $90^\circ, 180^\circ$. В. $30^\circ, 120^\circ$. С. $60^\circ, 150^\circ$. D. $45^\circ, 135^\circ$.

16. Один из смежных углов в три раза меньше другого. Найдите эти углы:
А. $45^\circ, 135^\circ$. В. $60^\circ, 120^\circ$. С. $30^\circ, 90^\circ$. D. $15^\circ, 45^\circ$.

17. Один из смежных углов составляет $20\%$ другого. Найдите эти углы:
А. $20^\circ, 160^\circ$. В. $45^\circ, 135^\circ$. С. $60^\circ, 120^\circ$. D. $30^\circ, 150^\circ$.

18. Сумма двух вертикальных углов, образованных двумя прямыми, равна $150^\circ$. Найдите все углы, образованные этими прямыми:
А. $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$. В. $30^\circ, 150^\circ, 30^\circ, 150^\circ$.
С. $75^\circ, 105^\circ, 75^\circ, 105^\circ$. D. $50^\circ, 130^\circ, 50^\circ, 130^\circ$.

19. На какой угол повернется минутная стрелка за 20 мин:
А. $30^\circ$. В. $60^\circ$. С. $90^\circ$. D. $120^\circ$?

20. Какой угол образуют минутная и часовая стрелки в 13 ч 30 мин:
А. $90^\circ$. В. $120^\circ$. С. $135^\circ$. D. $150^\circ$?

1. Согласно одной из основных аксиом геометрии, через любую точку на плоскости или в пространстве можно провести бесконечное множество прямых. Представьте точку как центр, из которого во все стороны расходятся лучи, образуя прямые. Их число не ограничено.
Ответ: D. Бесконечно много.

2. Согласно аксиоме планиметрии, через любые две различные точки можно провести прямую, и притом только одну. Если попытаться провести другую прямую через те же две точки, она неизбежно совпадет с первой.
Ответ: C. Одну.

3. Две различные прямые на плоскости могут либо пересекаться в одной точке, либо быть параллельными (не иметь общих точек). Таким образом, наибольшее возможное число общих точек для двух различных прямых — это одна точка пересечения. Если же прямые совпадают, у них бесконечно много общих точек, но в задаче обычно имеются в виду различные прямые.
Ответ: B. Одну.

4. Чтобы провести прямую, нужно выбрать пару точек. У нас есть 3 точки, не лежащие на одной прямой. Количество уникальных пар, которые можно составить из 3 точек, равно числу сочетаний из 3 по 2: $C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times 1} = 3$. Таким образом, можно провести 3 прямые.
Ответ: C. Три.

5. Наибольшее число прямых можно провести, если никакие три точки не лежат на одной прямой. В этом случае каждая пара точек определяет уникальную прямую. Количество пар, которые можно составить из 4 точек, равно числу сочетаний из 4 по 2: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
Ответ: B. 6.

6. Наибольшее число прямых достигается, когда никакие три точки не лежат на одной прямой. Число прямых, которые можно провести через 5 точек, равно числу сочетаний из 5 по 2: $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
Ответ: B. 10.

7. Чтобы получить наибольшее число точек пересечения, каждая прямая должна пересекать все остальные, и никакие три прямые не должны пересекаться в одной точке. Число точек пересечения равно числу пар прямых. Для 3 прямых это $C_3^2 = \frac{3 \times 2}{2} = 3$ точки.
Ответ: C. Три.

8. Для получения наибольшего числа точек пересечения, никакие две прямые не должны быть параллельны и никакие три не должны пересекаться в одной точке. Число точек пересечения равно числу пар, которые можно составить из 4 прямых: $C_4^2 = \frac{4 \times 3}{2} = 6$.
Ответ: B. 6.

9. Аналогично предыдущим задачам, максимальное число точек пересечения для 5 прямых равно числу сочетаний из 5 по 2: $C_5^2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$.
Ответ: B. 10.

10. Отрезок определяется двумя точками. Чтобы найти количество отрезков, нужно найти количество всех возможных пар точек из четырех данных. Это число сочетаний из 4 по 2: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$.
Ответ: D. 6.

11. Луч ОА начинается в точке О и проходит через точку А. На этом луче отложены отрезки ОА и ОВ, причем длина ОВ меньше длины ОА ($OB < OA$). Это означает, что точка В находится на отрезке ОА. Порядок точек на луче: О, В, А. Следовательно, точка В лежит между точками О и А.
Ответ: C. B.

12. Примем точку А за начало координат (0). Тогда координаты точек будут: $A=0$, $B=3$, $C=3+5=8$, $D=8+4=12$. Середина отрезка AB, назовем ее M, имеет координату $M = (0+3)/2 = 1.5$. Середина отрезка CD, назовем ее N, имеет координату $N = (8+12)/2 = 10$. Расстояние между серединами M и N равно $|10 - 1.5| = 8.5$ см.
Ответ: C. 8,5 см.

13. Смежные углы имеют одну общую сторону, а две другие их стороны являются продолжениями друг друга. У любого угла есть две стороны. От каждой из этих сторон можно отложить по одному смежному углу. Таким образом, у данного угла есть два смежных ему угла.
Ответ: B. 2.

14. Сумма смежных углов равна $180°$. Если один из углов равен $30°$, то другой будет равен $180° - 30° = 150°$.
Ответ: D. 150°.

15. Пусть один угол равен $x$, а другой — $y$. По условию, $x + y = 180°$ (так как они смежные) и $x = y + 90°$. Подставим второе уравнение в первое: $(y + 90°) + y = 180°$. Решаем уравнение: $2y = 90°$, откуда $y = 45°$. Тогда $x = 45° + 90° = 135°$. Искомые углы — $45°$ и $135°$.
Ответ: D. 45°, 135°.

16. Пусть меньший угол равен $x$. Тогда больший угол равен $3x$. Их сумма равна $180°$: $x + 3x = 180°$. Отсюда $4x = 180°$, и $x = 45°$. Больший угол равен $3 \times 45° = 135°$. Искомые углы — $45°$ и $135°$.
Ответ: A. 45°, 135°.

17. Пусть один угол равен $x$. Тогда другой равен $0.2x$ (20% от $x$). Так как они смежные, их сумма $x + 0.2x = 180°$. Получаем $1.2x = 180°$, откуда $x = 180 / 1.2 = 150°$. Второй угол равен $0.2 \times 150° = 30°$. Искомые углы — $30°$ и $150°$.
Ответ: D. 30°, 150°.

18. Вертикальные углы равны. Если сумма двух вертикальных углов равна $150°$, то каждый из них равен $150° / 2 = 75°$. При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов. Углы из другой пары смежны углам по $75°$, следовательно, они равны $180° - 75° = 105°$. Таким образом, все четыре угла равны $75°, 105°, 75°, 105°$.
Ответ: C. 75°, 105°, 75°, 105°.

19. Минутная стрелка совершает полный оборот ($360°$) за 60 минут. Скорость ее движения составляет $360° / 60 = 6°$ в минуту. За 20 минут она повернется на угол $20 \times 6° = 120°$.
Ответ: D. 120°.

20. Время 13 ч 30 мин — это то же самое, что 1 ч 30 мин.
1. Положение минутной стрелки: за 30 минут она пройдет $30 \times 6° = 180°$ от отметки "12".
2. Положение часовой стрелки: за 12 часов она проходит $360°$, то есть ее скорость $0.5°$ в минуту. В 1:30 ее положение будет $1 \times 30° + 30 \times 0.5° = 30° + 15° = 45°$ от отметки "12".
3. Угол между стрелками равен разности их положений: $|180° - 45°| = 135°$.
Ответ: C. 135°.