Страница 33 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

6.2. Найдите величины углов $AOB$, $AOC$, $AOD$, $BOC$, $BOD$, $COD$, изображенных на рисунке 6.3.

1:1000

Рис. 6.3

Для определения величин углов воспользуемся транспортиром, изображенным на рисунке. Центр транспортира находится в точке O. Будем использовать внутреннюю шкалу, где луч OA соответствует отметке 0°.

Сначала определим положение каждого луча на шкале транспортира:

• Луч OA проходит через отметку $0^\circ$.

• Луч OB проходит через отметку $40^\circ$.

• Луч OC проходит через отметку $70^\circ$.

• Луч OD проходит через отметку $160^\circ$.

AOB

Величина угла $\angle AOB$ равна разности показаний лучей OB и OA на шкале транспортира.

$\angle AOB = 40^\circ - 0^\circ = 40^\circ$

Ответ: $40^\circ$.

AOC

Величина угла $\angle AOC$ равна разности показаний лучей OC и OA на шкале транспортира.

$\angle AOC = 70^\circ - 0^\circ = 70^\circ$

Ответ: $70^\circ$.

AOD

Величина угла $\angle AOD$ равна разности показаний лучей OD и OA на шкале транспортира.

$\angle AOD = 160^\circ - 0^\circ = 160^\circ$

Ответ: $160^\circ$.

BOC

Величина угла $\angle BOC$ равна разности показаний лучей OC и OB. Также можно найти этот угол как разность углов $\angle AOC$ и $\angle AOB$.

$\angle BOC = 70^\circ - 40^\circ = 30^\circ$

Ответ: $30^\circ$.

BOD

Величина угла $\angle BOD$ равна разности показаний лучей OD и OB. Также можно найти этот угол как разность углов $\angle AOD$ и $\angle AOB$.

$\angle BOD = 160^\circ - 40^\circ = 120^\circ$

Ответ: $120^\circ$.

COD

Величина угла $\angle COD$ равна разности показаний лучей OD и OC. Также можно найти этот угол как разность углов $\angle AOD$ и $\angle AOC$.

$\angle COD = 160^\circ - 70^\circ = 90^\circ$

Ответ: $90^\circ$.

6.3. С помощью транспортира постройте углы величиной $10^\circ$, $30^\circ$, $70^\circ$, $100^\circ$, $150^\circ$.

Рис. 6.3

Для построения угла заданной величины с помощью транспортира необходимо выполнить следующие шаги. Ниже представлен общий алгоритм, который затем применяется для построения каждого из требуемых углов.

Общий алгоритм построения угла:

1. Начертите на плоскости произвольный луч, например, луч $OA$. Точка $O$ будет вершиной будущего угла, а луч $OA$ — одной из его сторон.
2. Приложите транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой $O$ (вершиной угла), а прямая линия основания транспортира (отметка $0^\circ$) прошла точно по лучу $OA$.
3. Найдите на шкале транспортира деление, соответствующее заданной величине угла. Важно использовать ту шкалу (внутреннюю или внешнюю), которая начинается с $0^\circ$ на вашем луче $OA$.
4. Поставьте точку (назовем ее $B$) карандашом напротив этого деления на бумаге.
5. Уберите транспортир и с помощью линейки соедините вершину $O$ с отмеченной точкой $B$, проведя второй луч $OB$.
6. Полученный угол $AOB$ и будет искомым углом.

Теперь построим каждый из заданных углов, следуя этому алгоритму.

Построение угла $10^\circ$

Для построения угла в $10^\circ$, мы следуем общему алгоритму. Сначала чертим луч $OA$. Затем прикладываем транспортир центром к точке $O$ и совмещаем его основание с лучом $OA$. На шкале, которая начинается с нуля на луче $OA$, находим отметку $10$. Ставим напротив нее точку $B$. Убрав транспортир, проводим луч $OB$. Угол $AOB$ и есть искомый угол в $10^\circ$.

Ответ: Угол величиной $10^\circ$ построен в соответствии с описанными шагами.

Построение угла $30^\circ$

Аналогично предыдущему пункту, строим луч $OA$. Прикладываем транспортир, совмещая центр с точкой $O$ и нулевую линию с лучом $OA$. Находим на шкале отметку $30$, ставим точку $B$ и проводим луч $OB$. Полученный угол $AOB$ равен $30^\circ$.

Ответ: Острый угол величиной $30^\circ$ построен.

Построение угла $70^\circ$

Выполняем шаги алгоритма для величины $70^\circ$. Чертим луч $OA$. Прикладываем транспортир. Находим на шкале отметку $70$, ставим точку $B$ и проводим луч $OB$. Угол $AOB$ равен $70^\circ$.

Ответ: Острый угол величиной $70^\circ$ построен.

Построение угла $100^\circ$

Действуем аналогично. Последовательно выполняем шаги: чертим луч $OA$; прикладываем транспортир к точке $O$ и лучу $OA$; находим на шкале отметку $100$; ставим точку $B$; проводим луч $OB$. Так как $100^\circ > 90^\circ$, полученный угол $AOB$ является тупым.

Ответ: Тупой угол величиной $100^\circ$ построен.

Построение угла $150^\circ$

Для построения угла $150^\circ$ повторяем те же действия. Чертим луч $OA$, прикладываем транспортир, находим на шкале отметку $150$, отмечаем точку $B$ и соединяем ее с вершиной $O$. Полученный тупой угол $AOB$ будет равен $150^\circ$.

Ответ: Тупой угол величиной $150^\circ$ построен.

6.4. На клетчатой бумаге изобразите луч $AB$, как показано на рисунке 6.4. От луча $AB$ отложите угол $BAC$, равный:

а) $45^\circ$

б) $90^\circ$

а)

б)

Рис. 6.4

а) На рисунке а) луч $AB$ проходит через узлы сетки таким образом, что для перехода из точки $A$ в точку $B$ необходимо сместиться на 3 клетки вправо и на 3 клетки вверх. Такой луч образует угол $45^{\circ}$ с горизонтальной линией сетки, проходящей через точку $A$.

Чтобы отложить от луча $AB$ угол $\angle BAC$, равный $45^{\circ}$, необходимо построить луч $AC$, который будет образовывать с лучом $AB$ угол в $45^{\circ}$. Существует два возможных положения для луча $AC$:

1. Луч $AC$ можно провести так, чтобы угол между ним и горизонталью составлял $45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$. В этом случае луч $AC$ будет направлен вертикально вверх.
2. Луч $AC$ можно провести так, чтобы угол между ним и горизонталью составлял $45^{\circ} - 45^{\circ} = 0^{\circ}$. В этом случае луч $AC$ будет направлен горизонтально вправо.

Построим второй вариант, проведя луч $AC$ вдоль горизонтальной линии сетки вправо от точки $A$.

Ответ: На рисунке показано одно из возможных построений угла $\angle BAC = 45^{\circ}$.

б) На рисунке б) луч $AB$ проходит через узлы сетки так, что для перехода из точки $A$ в точку $B$ необходимо сместиться на 4 клетки вправо и на 2 клетки вверх. Чтобы построить угол $\angle BAC$, равный $90^{\circ}$, нужно провести луч $AC$, перпендикулярный лучу $AB$.

Для построения перпендикулярного луча на клетчатой бумаге можно использовать правило векторов. Если вектор, соответствующий лучу $AB$, имеет координаты $(\Delta x, \Delta y)$, то перпендикулярный ему вектор будет иметь координаты $(-\Delta y, \Delta x)$ или $(\Delta y, -\Delta x)$.

Для луча $AB$ смещение от $A$ составляет $\Delta x = 4$ клетки и $\Delta y = 2$ клетки. Следовательно, для перпендикулярного луча $AC$ смещение от точки $A$ может быть:

1. $(-\Delta y, \Delta x) = (-2, 4)$, то есть 2 клетки влево и 4 клетки вверх.
2. $(\Delta y, -\Delta x) = (2, -4)$, то есть 2 клетки вправо и 4 клетки вниз.

Оба направления задают лучи, перпендикулярные $AB$. Выберем второе направление и проведем луч $AC$. Любая точка на этом луче, например, полученная смещением на 1 клетку вправо и 2 клетки вниз от точки $A$, будет задавать нужный луч.

Ответ: На рисунке показано одно из возможных построений угла $\angle BAC = 90^{\circ}$.