Номер 6.4, страница 33 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

6.4. На клетчатой бумаге изобразите луч $AB$, как показано на рисунке 6.4. От луча $AB$ отложите угол $BAC$, равный:

а) $45^\circ$

б) $90^\circ$

а)

б)

Рис. 6.4

а) На рисунке а) луч $AB$ проходит через узлы сетки таким образом, что для перехода из точки $A$ в точку $B$ необходимо сместиться на 3 клетки вправо и на 3 клетки вверх. Такой луч образует угол $45^{\circ}$ с горизонтальной линией сетки, проходящей через точку $A$.

Чтобы отложить от луча $AB$ угол $\angle BAC$, равный $45^{\circ}$, необходимо построить луч $AC$, который будет образовывать с лучом $AB$ угол в $45^{\circ}$. Существует два возможных положения для луча $AC$:

1. Луч $AC$ можно провести так, чтобы угол между ним и горизонталью составлял $45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$. В этом случае луч $AC$ будет направлен вертикально вверх.
2. Луч $AC$ можно провести так, чтобы угол между ним и горизонталью составлял $45^{\circ} - 45^{\circ} = 0^{\circ}$. В этом случае луч $AC$ будет направлен горизонтально вправо.

Построим второй вариант, проведя луч $AC$ вдоль горизонтальной линии сетки вправо от точки $A$.

Ответ: На рисунке показано одно из возможных построений угла $\angle BAC = 45^{\circ}$.

б) На рисунке б) луч $AB$ проходит через узлы сетки так, что для перехода из точки $A$ в точку $B$ необходимо сместиться на 4 клетки вправо и на 2 клетки вверх. Чтобы построить угол $\angle BAC$, равный $90^{\circ}$, нужно провести луч $AC$, перпендикулярный лучу $AB$.

Для построения перпендикулярного луча на клетчатой бумаге можно использовать правило векторов. Если вектор, соответствующий лучу $AB$, имеет координаты $(\Delta x, \Delta y)$, то перпендикулярный ему вектор будет иметь координаты $(-\Delta y, \Delta x)$ или $(\Delta y, -\Delta x)$.

Для луча $AB$ смещение от $A$ составляет $\Delta x = 4$ клетки и $\Delta y = 2$ клетки. Следовательно, для перпендикулярного луча $AC$ смещение от точки $A$ может быть:

1. $(-\Delta y, \Delta x) = (-2, 4)$, то есть 2 клетки влево и 4 клетки вверх.
2. $(\Delta y, -\Delta x) = (2, -4)$, то есть 2 клетки вправо и 4 клетки вниз.

Оба направления задают лучи, перпендикулярные $AB$. Выберем второе направление и проведем луч $AC$. Любая точка на этом луче, например, полученная смещением на 1 клетку вправо и 2 клетки вниз от точки $A$, будет задавать нужный луч.

Ответ: На рисунке показано одно из возможных построений угла $\angle BAC = 90^{\circ}$.