Номер 6.6, страница 34 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

6.6. На клетчатой бумаге изобразите углы, как показано на рисунке 6.5. Оцените “на глаз” их градусную величину. Проверьте ваши оценки, измерив углы с помощью транспортира.

а)

б)

Рис. 6.5

а)

Сначала оценим величину угла $ \angle CAB $ "на глаз". Угол острый, немного больше, чем $45^\circ$. Можно предположить, что его величина составляет около $50^\circ$.

Для проверки измерения воспользуемся методом, основанным на клеточной бумаге. Этот метод заменяет использование транспортира и дает точный результат. Введем систему координат с началом в точке A, направив ось Ox вправо, а ось Oy вверх. Пусть сторона одной клетки равна 1.

Тогда координаты точек будут: $ A(0, 0) $. Из точки А, чтобы попасть в точку на луче АВ, нужно сместиться на 3 клетки вправо и на 1 клетку вверх, поэтому вектору $ \vec{AB} $ соответствуют координаты $ (3, 1) $. Чтобы попасть в точку на луче АС, нужно сместиться на 1 клетку вправо и на 3 клетки вверх, поэтому вектору $ \vec{AC} $ соответствуют координаты $ (1, 3) $.

Мы можем найти угол $ \angle CAB $, используя скалярное произведение векторов $ \vec{AC} $ и $ \vec{AB} $.

Скалярное произведение векторов: $ \vec{AC} \cdot \vec{AB} = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 1 = 6 $.

Длины (модули) векторов: $ |\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} $. $ |\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} $.

Косинус угла $ \theta $ между векторами вычисляется по формуле: $ \cos(\theta) = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{AB}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{AB}|} = \frac{6}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{6}{10} = 0.6 $.

Теперь найдем сам угол: $ \theta = \arccos(0.6) \approx 53.13^\circ $.

Таким образом, точное значение угла, измеренное с помощью вычислений, составляет примерно $53.1^\circ$. Это значение достаточно близко к нашей первоначальной оценке. При измерении транспортиром также получится значение около $53^\circ$.

Ответ: Оценка "на глаз" - около $50^\circ$. Измеренное значение (проверенное расчетом) - $ \arccos(0.6) \approx 53.1^\circ $.

б)

Оценим величину угла $ \angle CAB $ "на глаз". Угол тупой, больше $90^\circ$. Он выглядит симметричным относительно вертикальной линии, проходящей через вершину A. Можно предположить, что его величина составляет ровно $135^\circ$ ($90^\circ + 45^\circ$).

Для точного измерения снова воспользуемся координатным методом. Введем систему координат с началом в точке A.

Координаты направляющих векторов лучей: из точки А, чтобы попасть в точку на луче АВ, нужно сместиться на 3 клетки вправо и на 1 клетку вверх, поэтому $ \vec{AB} $ имеет координаты $ (3, 1) $. Чтобы попасть в точку на луче АС, нужно сместиться на 2 клетки влево и на 1 клетку вверх, поэтому $ \vec{AC} $ имеет координаты $ (-2, 1) $.

Скалярное произведение векторов: $ \vec{AC} \cdot \vec{AB} = (-2) \cdot 3 + 1 \cdot 1 = -6 + 1 = -5 $.

Длины векторов: $ |\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} $. $ |\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} $.

Косинус угла $ \theta $ между векторами: $ \cos(\theta) = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{AB}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{AB}|} = \frac{-5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{-5}{\sqrt{50}} = \frac{-5}{5\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} $.

Угол, косинус которого равен $ -\frac{1}{\sqrt{2}} $ (или $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $), является табличным: $ \theta = \arccos(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = 135^\circ $.

В этом случае наша оценка "на глаз" оказалась абсолютно точной. Измерение транспортиром также подтвердит, что угол равен $135^\circ$.

Ответ: Оценка "на глаз" - $135^\circ$. Измеренное значение (проверенное расчетом) - $135^\circ$.