Номер 6.13, страница 34 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

6.13. Найдите градусные величины двух смежных углов, если:

а) один из них на $30^\circ$ больше другого;

б) их разность равна $40^\circ$;

в) один из них в четыре раза меньше другого;

г) они равны.

Основное свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$. Обозначим градусные меры двух смежных углов как $\alpha$ и $\beta$. Таким образом, для всех подпунктов задачи будет справедливо равенство: $\alpha + \beta = 180^\circ$.

а) один из них на 30° больше другого
Пусть один угол равен $x$, тогда второй угол равен $x + 30^\circ$.
Составим уравнение, исходя из свойства смежных углов:
$x + (x + 30^\circ) = 180^\circ$
$2x + 30^\circ = 180^\circ$
$2x = 180^\circ - 30^\circ$
$2x = 150^\circ$
$x = 150^\circ / 2$
$x = 75^\circ$
Итак, один угол равен $75^\circ$.
Второй угол равен $x + 30^\circ = 75^\circ + 30^\circ = 105^\circ$.
Проверка: $75^\circ + 105^\circ = 180^\circ$.
Ответ: градусные величины углов равны $75^\circ$ и $105^\circ$.

б) их разность равна 40°
Пусть больший угол равен $\alpha$, а меньший — $\beta$.
Мы имеем систему из двух уравнений:
$\left\{ \begin{array}{l} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha - \beta = 40^\circ \end{array} \right.$
Сложим эти два уравнения:
$(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 180^\circ + 40^\circ$
$2\alpha = 220^\circ$
$\alpha = 220^\circ / 2$
$\alpha = 110^\circ$
Теперь найдем $\beta$, подставив значение $\alpha$ в первое уравнение:
$110^\circ + \beta = 180^\circ$
$\beta = 180^\circ - 110^\circ$
$\beta = 70^\circ$
Проверка: $110^\circ - 70^\circ = 40^\circ$.
Ответ: градусные величины углов равны $70^\circ$ и $110^\circ$.

в) один из них в четыре раза меньше другого
Пусть один угол равен $x$. Если он в четыре раза меньше другого, то другой угол равен $4x$.
Составим уравнение на основе их суммы:
$x + 4x = 180^\circ$
$5x = 180^\circ$
$x = 180^\circ / 5$
$x = 36^\circ$
Один угол равен $36^\circ$.
Второй угол равен $4x = 4 \cdot 36^\circ = 144^\circ$.
Проверка: $36^\circ + 144^\circ = 180^\circ$.
Ответ: градусные величины углов равны $36^\circ$ и $144^\circ$.

г) они равны
Пусть каждый из углов равен $x$.
Тогда их сумма равна:
$x + x = 180^\circ$
$2x = 180^\circ$
$x = 180^\circ / 2$
$x = 90^\circ$
Оба угла прямые.
Проверка: $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.
Ответ: градусные величины углов равны $90^\circ$ и $90^\circ$.