Номер 6.15, страница 35 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

6.15. Общей частью двух углов $\angle AOB$ и $\angle COD$, величиной $60^\circ$ и $90^\circ$ соответственно, является угол $\angle BOC$, величиной $30^\circ$ (рис. 6.6). Найдите угол $\angle AOD$.

Для решения задачи представим расположение углов. Поскольку угол $BOC$ является общей частью углов $AOB$ и $COD$, это означает, что лучи $OA, OC, OB, OD$ исходят из одной точки $O$ и расположены в таком порядке, что угол $AOB$ и угол $COD$ "перекрывают" друг друга. Угол $AOD$ будет состоять из трех смежных углов: $AOC$, $BOC$ и $BOD$.

1. Найдем величину угла AOC.

Угол $AOB$ состоит из суммы углов $AOC$ и $BOC$.

$ \angle AOB = \angle AOC + \angle BOC $

Из условия мы знаем, что $ \angle AOB = 60^\circ $ и $ \angle BOC = 30^\circ $. Подставим эти значения в формулу:

$ 60^\circ = \angle AOC + 30^\circ $

Отсюда находим угол $AOC$:

$ \angle AOC = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ $

2. Найдем величину угла BOD.

Аналогично, угол $COD$ состоит из суммы углов $BOC$ и $BOD$.

$ \angle COD = \angle BOC + \angle BOD $

Из условия мы знаем, что $ \angle COD = 90^\circ $ и $ \angle BOC = 30^\circ $. Подставим эти значения:

$ 90^\circ = 30^\circ + \angle BOD $

Отсюда находим угол $BOD$:

$ \angle BOD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ $

3. Найдем величину искомого угла AOD.

Угол $AOD$ является суммой трех найденных углов: $AOC$, $BOC$ и $BOD$.

$ \angle AOD = \angle AOC + \angle BOC + \angle BOD $

Подставим вычисленные и данные значения:

$ \angle AOD = 30^\circ + 30^\circ + 60^\circ $

$ \angle AOD = 120^\circ $

Ответ: $120^\circ$.