Страница 35 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

6.15. Общей частью двух углов $\angle AOB$ и $\angle COD$, величиной $60^\circ$ и $90^\circ$ соответственно, является угол $\angle BOC$, величиной $30^\circ$ (рис. 6.6). Найдите угол $\angle AOD$.

Для решения задачи представим расположение углов. Поскольку угол $BOC$ является общей частью углов $AOB$ и $COD$, это означает, что лучи $OA, OC, OB, OD$ исходят из одной точки $O$ и расположены в таком порядке, что угол $AOB$ и угол $COD$ "перекрывают" друг друга. Угол $AOD$ будет состоять из трех смежных углов: $AOC$, $BOC$ и $BOD$.

1. Найдем величину угла AOC.

Угол $AOB$ состоит из суммы углов $AOC$ и $BOC$.

$ \angle AOB = \angle AOC + \angle BOC $

Из условия мы знаем, что $ \angle AOB = 60^\circ $ и $ \angle BOC = 30^\circ $. Подставим эти значения в формулу:

$ 60^\circ = \angle AOC + 30^\circ $

Отсюда находим угол $AOC$:

$ \angle AOC = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ $

2. Найдем величину угла BOD.

Аналогично, угол $COD$ состоит из суммы углов $BOC$ и $BOD$.

$ \angle COD = \angle BOC + \angle BOD $

Из условия мы знаем, что $ \angle COD = 90^\circ $ и $ \angle BOC = 30^\circ $. Подставим эти значения:

$ 90^\circ = 30^\circ + \angle BOD $

Отсюда находим угол $BOD$:

$ \angle BOD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ $

3. Найдем величину искомого угла AOD.

Угол $AOD$ является суммой трех найденных углов: $AOC$, $BOC$ и $BOD$.

$ \angle AOD = \angle AOC + \angle BOC + \angle BOD $

Подставим вычисленные и данные значения:

$ \angle AOD = 30^\circ + 30^\circ + 60^\circ $

$ \angle AOD = 120^\circ $

Ответ: $120^\circ$.

6.16. Чему равен угол между биссектрисами вертикальных углов?

6.17. Найди все углы $AOD$, $AOC$, $AOB$, $BOC$, $BOD$, $COD$.

Для решения этой задачи рассмотрим две пересекающиеся прямые, которые образуют пару вертикальных углов.

Пусть прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$. При этом образуются две пары вертикальных углов: $\angle AOC$ и $\angle BOD$, а также $\angle AOD$ и $\angle COB$. Рассмотрим первую пару.

По свойству вертикальных углов, они равны. Обозначим величину углов $\angle AOC$ и $\angle BOD$ через $\alpha$:
$\angle AOC = \angle BOD = \alpha$.

Проведем биссектрису $OE$ угла $\angle AOC$ и биссектрису $OF$ угла $\angle BOD$. По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла:
$\angle AOE = \angle EOC = \frac{\angle AOC}{2} = \frac{\alpha}{2}$
$\angle BOF = \angle FOD = \frac{\angle BOD}{2} = \frac{\alpha}{2}$

Нам необходимо найти угол между этими биссектрисами, то есть $\angle EOF$. Этот угол можно найти как сумму трех углов, расположенных последовательно: $\angle EOC$, $\angle COB$ и $\angle BOF$.
$\angle EOF = \angle EOC + \angle COB + \angle BOF$

Углы $\angle AOC$ и $\angle COB$ являются смежными, так как их стороны $OA$ и $OB$ образуют прямую $AB$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.
$\angle AOC + \angle COB = 180^\circ$
Следовательно, $\angle COB = 180^\circ - \angle AOC = 180^\circ - \alpha$.

Теперь подставим значения углов $\angle EOC$, $\angle COB$ и $\angle BOF$ в формулу для $\angle EOF$:
$\angle EOF = \frac{\alpha}{2} + (180^\circ - \alpha) + \frac{\alpha}{2}$

Упростим полученное выражение:
$\angle EOF = \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2}\right) + 180^\circ - \alpha = \alpha + 180^\circ - \alpha = 180^\circ$.

Таким образом, угол между биссектрисами вертикальных углов составляет $180^\circ$. Это означает, что биссектрисы двух вертикальных углов являются продолжением друг друга и лежат на одной прямой.

Ответ: $180^\circ$.

6.17. Найдите величины углов $AOB$, $AOC$, $AOD$, $BOC$, $BOD$, $COD$, изображенных на рисунке 6.7.

Рис. 6.7

Для нахождения величин углов, сначала определим угловые координаты лучей OA, OB, OC и OD по представленной диаграмме. На диаграмме изображена полярная система координат с центром в точке O, где углы отсчитываются против часовой стрелки от горизонтального луча OA.

Определим углы для каждого луча:

• Луч OA совпадает с начальным направлением, его угол равен $0^\circ$.

• Луч OB расположен ровно посередине между отметками $40^\circ$ и $60^\circ$, следовательно, его угол составляет $50^\circ$.

• Луч OD расположен на отметке $200^\circ$, так как он следует за $180^\circ$ с шагом в $20^\circ$.

• Луч OC расположен на отметке $220^\circ$, так как он следует за $200^\circ$ с шагом в $20^\circ$.

Углом между двумя лучами считается наименьший угол, который они образуют. Он вычисляется как наименьшее из значений $|\alpha - \beta|$ и $360^\circ - |\alpha - \beta|$, где $\alpha$ и $\beta$ — угловые координаты лучей. Теперь вычислим искомые углы.

AOB

Угол AOB образован лучами OA ($0^\circ$) и OB ($50^\circ$). Величина угла равна модулю разности их угловых координат.

$\angle AOB = |50^\circ - 0^\circ| = 50^\circ$

Ответ: $50^\circ$

AOC

Угол AOC образован лучами OA ($0^\circ$) и OC ($220^\circ$). Прямая разность углов составляет $220^\circ$. Наименьший угол будет $360^\circ - 220^\circ = 140^\circ$.

$\angle AOC = \min(|220^\circ - 0^\circ|, 360^\circ - |220^\circ - 0^\circ|) = \min(220^\circ, 140^\circ) = 140^\circ$

Ответ: $140^\circ$

AOD

Угол AOD образован лучами OA ($0^\circ$) и OD ($200^\circ$). Прямая разность углов составляет $200^\circ$. Наименьший угол будет $360^\circ - 200^\circ = 160^\circ$.

$\angle AOD = \min(|200^\circ - 0^\circ|, 360^\circ - |200^\circ - 0^\circ|) = \min(200^\circ, 160^\circ) = 160^\circ$

Ответ: $160^\circ$

BOC

Угол BOC образован лучами OB ($50^\circ$) и OC ($220^\circ$).

$\angle BOC = \min(|220^\circ - 50^\circ|, 360^\circ - |220^\circ - 50^\circ|) = \min(170^\circ, 190^\circ) = 170^\circ$

Ответ: $170^\circ$

BOD

Угол BOD образован лучами OB ($50^\circ$) и OD ($200^\circ$).

$\angle BOD = \min(|200^\circ - 50^\circ|, 360^\circ - |200^\circ - 50^\circ|) = \min(150^\circ, 210^\circ) = 150^\circ$

Ответ: $150^\circ$

COD

Угол COD образован лучами OC ($220^\circ$) и OD ($200^\circ$).

$\angle COD = |220^\circ - 200^\circ| = 20^\circ$

Ответ: $20^\circ$

6.18. Колесо имеет:

а) 10 спиц;

б) 12 спиц (рис. 6.8).

Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

а)

б)

Рис. 6.8

а) Спицы колеса делят полный круг, который составляет $360^\circ$, на равные секторы. Если в колесе 10 спиц, то они образуют 10 одинаковых углов с вершиной в центре колеса. Чтобы найти величину угла между двумя соседними спицами, нужно полный угол круга разделить на количество спиц.
$360^\circ \div 10 = 36^\circ$
Ответ: $36^\circ$.

б) Аналогично, если в колесе 12 спиц, они делят полный круг на 12 равных секторов. Величина угла между двумя соседними спицами находится делением полного угла круга ($360^\circ$) на количество спиц.
$360^\circ \div 12 = 30^\circ$
Ответ: $30^\circ$.

6.19. Колесо имеет:
а) 18 спиц;
б) 20 спиц (рис. 6.9). Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

а)

б)

Рис. 6.9

Чтобы найти величину угла, который образуют две соседние спицы, необходимо разделить градусную меру полной окружности ($360^\circ$) на общее количество спиц. Спицы делят колесо на равные секторы, и угол между любыми двумя соседними спицами будет одинаковым.

а) В колесе 18 спиц. Угол между двумя соседними спицами равен частному от деления градусной меры полной окружности на количество спиц.
$360^\circ \div 18 = 20^\circ$
Ответ: $20^\circ$.

б) В колесе 20 спиц. Вычисление проводится аналогично: градусную меру полной окружности делим на количество спиц.
$360^\circ \div 20 = 18^\circ$
Ответ: $18^\circ$.