Страница 28 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

5.11. На клетчатой бумаге изобразите угол, равный сумме углов $AOB$ и $PQR$ (рис. 5.16).

б) Рис. 5.16

а) Для того чтобы найти угол, равный сумме углов $AOB$ и $PQR$, мы можем использовать их тригонометрические характеристики, которые легко определить по клетчатой бумаге.

1. Анализ угла $AOB$. Вершина угла находится в точке $O$. Одна сторона, луч $OA$, лежит на горизонтальной линии сетки. Другая сторона, луч $OB$, проходит через узел сетки, который находится на 2 клетки правее и на 2 клетки выше точки $O$. Тангенс угла, образованного лучом $OB$ с горизонталью, равен отношению вертикального смещения к горизонтальному: $\tan(\angle AOB) = 2/2 = 1$. Следовательно, $\angle AOB = 45^\circ$.

2. Анализ угла $PQR$. Вершина угла находится в точке $Q$. Одна сторона, луч $QR$, лежит на вертикальной линии сетки. Другая сторона, луч $QP$, проходит через узел сетки, который находится на 2 клетки правее и на 1 клетку выше точки $Q$. Угол $PQR$ — это угол между вертикальным лучом $QR$ и лучом $QP$. Угол, который луч $QP$ образует с горизонталью, имеет тангенс, равный $1/2$. Угол между лучом $QP$ и вертикалью $QR$ можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный точками $Q$, $P$ и проекцией $P$ на вертикальную линию, проходящую через $Q$. Катеты этого треугольника равны 1 и 2. Тангенс угла $PQR$ равен отношению противолежащего катета (горизонтальное смещение) к прилежащему (вертикальное смещение от проекции): $\tan(\angle PQR) = 2/1 = 2$.

3. Сложение углов. Нам нужно найти угол $\theta = \angle AOB + \angle PQR$. Мы можем использовать формулу для тангенса суммы двух углов: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$.Подставим наши значения: $\tan\alpha = \tan(\angle AOB) = 1$ и $\tan\beta = \tan(\angle PQR) = 2$.$\tan\theta = \frac{1 + 2}{1 - 1 \cdot 2} = \frac{3}{-1} = -3$.

4. Построение угла. Чтобы построить искомый угол, выберем на клетчатой бумаге произвольную точку-вершину $M$. Проведем из нее один луч $ML$ горизонтально вправо. Второй луч $MN$ должен иметь тангенс (угловой коэффициент) равный $-3$ относительно горизонтального луча. Это означает, что для построения точки $N$ на луче $MN$ мы должны отступить от вершины $M$ на 1 клетку влево (изменение по горизонтали $-1$) и на 3 клетки вверх (изменение по вертикали $+3$). Полученный угол $\angle LMN$ и будет искомым.

Ответ:

б) 1. Анализ угла $AOB$. Вершина угла находится в точке $O$. Луч $OA$ проходит через узел сетки, который находится на 2 клетки правее и 1 клетку ниже точки $O$. Его угловой коэффициент (тангенс угла с горизонталью) равен $m_{OA} = -1/2$. Луч $OB$ проходит через узел сетки, который находится на 1 клетку правее и 2 клетки выше точки $O$. Его угловой коэффициент равен $m_{OB} = 2/1 = 2$. Произведение угловых коэффициентов $m_{OA} \cdot m_{OB} = (-1/2) \cdot 2 = -1$, что является условием перпендикулярности двух прямых. Следовательно, $\angle AOB = 90^\circ$.

2. Анализ угла $PQR$. Вершина угла в точке $Q$. Луч $QP$ проходит через узел сетки (2 клетки вправо, 1 вверх), его угловой коэффициент $m_{QP} = 1/2$. Луч $QR$ проходит через узел сетки (1 клетка вправо, 2 вверх), его угловой коэффициент $m_{QR} = 2$. Чтобы найти угол $\beta = \angle PQR$ между этими лучами, можно использовать формулу для тангенса угла между двумя прямыми с известными угловыми коэффициентами: $\tan\beta = \left|\frac{m_{QR} - m_{QP}}{1 + m_{QR}m_{QP}}\right|$.$\tan(\angle PQR) = \frac{2 - 1/2}{1 + 2 \cdot (1/2)} = \frac{3/2}{1 + 1} = \frac{3/2}{2} = 3/4$.

3. Сложение углов. Искомый угол $\theta = \angle AOB + \angle PQR = 90^\circ + \angle PQR$.Тангенс этого угла можно найти по формуле приведения: $\tan\theta = \tan(90^\circ + \angle PQR) = -\cot(\angle PQR)$.Так как $\tan(\angle PQR) = 3/4$, то $\cot(\angle PQR) = 1 / \tan(\angle PQR) = 4/3$.Следовательно, $\tan\theta = -4/3$.

4. Построение угла. Выберем на клетчатой бумаге вершину $M$ и проведем из нее горизонтальный луч $ML$. Второй луч $MN$ должен иметь угловой коэффициент $-4/3$. Это означает, что для построения точки $N$ на луче $MN$ мы должны отступить от $M$ на 3 клетки влево (изменение по горизонтали $-3$) и на 4 клетки вверх (изменение по вертикали $+4$). Угол $\angle LMN$ является искомым.

Ответ:

5.12. На клетчатой бумаге изобразите угол, равный сумме углов $ \angle ABC $ и $ \angle PQR $ (рис. 5.17).

а)

б)

Рис. 5.17

Для решения задачи найдем тангенсы данных углов, а затем, используя формулу тангенса суммы, найдем тангенс искомого угла. Тангенс угла на клетчатой бумаге удобно находить как отношение противолежащего катета к прилежащему в прямоугольном треугольнике, построенном по клеткам.

а) 1. Найдем тангенс угла $ABC$. Сторона $BA$ лежит на горизонтальной линии сетки. Сторона $BC$ проходит через узел сетки, который смещен на 2 клетки вправо и 1 клетку вверх относительно точки $B$. Таким образом, тангенс угла $ABC$, который мы обозначим как $ \alpha $, равен: $ \tan(\alpha) = \tan(\angle ABC) = \frac{1}{2} $

2. Найдем величину угла $PQR$. Сторона $QR$ лежит на вертикальной линии сетки. Сторона $QP$ проходит через узел сетки, смещенный на 2 клетки вправо и 2 клетки вверх, то есть под углом $45^\circ$ к горизонтали. Угол между вертикальной линией и линией под углом $45^\circ$ к горизонтали составляет $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Итак, угол $PQR$, который мы обозначим как $ \beta $, равен $45^\circ$. $ \tan(\beta) = \tan(\angle PQR) = \tan(45^\circ) = 1 $

3. Теперь найдем тангенс искомого угла $ \gamma = \alpha + \beta $ по формуле тангенса суммы: $ \tan(\gamma) = \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 - \tan(\alpha)\tan(\beta)} $ Подставим значения: $ \tan(\gamma) = \frac{\frac{1}{2} + 1}{1 - \frac{1}{2} \cdot 1} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3 $

4. Чтобы изобразить угол с тангенсом, равным 3, нужно из вершины угла провести один луч по горизонтальной линии сетки, а второй луч — через узел сетки, смещенный на 1 клетку вправо и 3 клетки вверх (или на 2 вправо и 6 вверх, и т.д.).

Ответ:

б) 1. Угол $ABC$ такой же, как и в пункте а). Обозначим его $ \alpha $. $ \tan(\alpha) = \tan(\angle ABC) = \frac{1}{2} $

2. Найдем тангенс угла $PQR$. Обозначим его $ \beta $. Обе стороны угла, $QP$ и $QR$, являются лучами, выходящими из вершины $Q$ и проходящими через узлы сетки.

• Сторона $QR$ проходит через узел, смещенный на 1 клетку вправо и 3 клетки вверх. Угловой коэффициент (тангенс угла с горизонталью) этой прямой $ k_1 = \frac{3}{1} = 3 $.
• Сторона $QP$ проходит через узел, смещенный на 2 клетки вправо и 3 клетки вверх. Угловой коэффициент этой прямой $ k_2 = \frac{3}{2} $.

3. Найдем тангенс искомого угла $ \gamma = \alpha + \beta $: $ \tan(\gamma) = \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 - \tan(\alpha)\tan(\beta)} $ Подставим значения: $ \tan(\gamma) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{11}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{11}} = \frac{\frac{11+6}{22}}{1 - \frac{3}{22}} = \frac{\frac{17}{22}}{\frac{19}{22}} = \frac{17}{19} $

4. Чтобы изобразить угол с тангенсом, равным $ \frac{17}{19} $, нужно из вершины угла провести один луч по горизонтальной линии сетки, а второй луч — через узел сетки, смещенный на 19 клеток вправо и 17 клеток вверх.

Ответ:

5.13. На клетчатой бумаге изобразите угол, равный разности углов $AOB$ и $PQR$ (рис. 5.18).

a)

б)

Рис. 5.18

Для решения задачи нам необходимо найти величину углов $ \angle AOB $ и $ \angle PQR $ для каждого случая, найти их разность, а затем построить полученный угол на клетчатой бумаге. Для определения величины углов будем использовать векторы и их координаты, принимая сторону одной клетки за единицу.

а) Рассмотрим первый случай, изображенный на рисунке 5.18 а).

1. Определим векторы, образующие углы.

Для угла $ \angle AOB $, поместим вершину O в начало координат (0,0). Тогда луч OA проходит через точку с координатами (2, -1), а луч OB — через точку с координатами (-1, 2). Таким образом, угол образован векторами $ \vec{OA} = (2, -1) $ и $ \vec{OB} = (-1, 2) $.

Для угла $ \angle PQR $, поместим вершину Q в начало координат (0,0). Тогда луч QP проходит через точку (2, 1), а луч QR — через точку (1, 2). Угол образован векторами $ \vec{QP} = (2, 1) $ и $ \vec{QR} = (1, 2) $.

2. Найдем связь между углами.

Заметим интересную связь между векторами этих двух углов. Выполним поворот векторов угла $ \angle PQR $ на $ 90^\circ $ против часовой стрелки. Поворот вектора $ (x, y) $ на $ 90^\circ $ против часовой стрелки дает вектор $ (-y, x) $.

Повернем вектор $ \vec{QP}=(2, 1) $: $ R_{90}(\vec{QP}) = (-1, 2) $. Этот вектор совпадает с вектором $ \vec{OB} $.

Повернем вектор $ \vec{QR}=(1, 2) $: $ R_{90}(\vec{QR}) = (-2, 1) $. Назовем этот вектор $ \vec{S} $. Вектор $ \vec{OA}=(2, -1) $ является противоположным вектору $ \vec{S} $, то есть $ \vec{OA} = -\vec{S} $.

Эти соотношения означают, что угол $ \angle AOB $ связан с углом $ \angle PQR $. Если $ \alpha $ - угол, то $ \angle AOB = 180^\circ - \angle PQR $.

3. Найдем разность углов.

Нам нужно найти $ \angle AOB - \angle PQR $. Подставим найденное соотношение:

$ \angle AOB - \angle PQR = (180^\circ - \angle PQR) - \angle PQR = 180^\circ - 2 \angle PQR $.

4. Вычислим косинус искомого угла.

Сначала найдем косинус угла $ \angle PQR $ по формуле скалярного произведения векторов $ \cos(\gamma) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} $:

$ \cos(\angle PQR) = \frac{\vec{QP} \cdot \vec{QR}}{|\vec{QP}| |\vec{QR}|} = \frac{(2)(1) + (1)(2)}{\sqrt{2^2+1^2} \sqrt{1^2+2^2}} = \frac{4}{\sqrt{5} \sqrt{5}} = \frac{4}{5} $.

Теперь найдем косинус искомого угла $ \delta = 180^\circ - 2 \angle PQR $:

$ \cos(\delta) = \cos(180^\circ - 2 \angle PQR) = -\cos(2 \angle PQR) $.

Используя формулу двойного угла $ \cos(2\gamma) = 2\cos^2(\gamma) - 1 $:

$ \cos(2 \angle PQR) = 2 \left(\frac{4}{5}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{16}{25} - 1 = \frac{32}{25} - \frac{25}{25} = \frac{7}{25} $.

Следовательно, $ \cos(\delta) = - \frac{7}{25} $.

5. Построим искомый угол.

Нам нужно построить на клетчатой бумаге угол $ \delta $, косинус которого равен $ -7/25 $. Для этого найдем два вектора с целочисленными координатами, исходящие из одной вершины, угол между которыми имеет такой косинус. Удобно выбрать векторы одинаковой длины. Длина, содержащая множитель 25, может быть получена из Пифагоровой тройки (3, 4, 5), так как $ 5 \times 5 = 25 $.

Пусть векторы $ \vec{u} $ и $ \vec{v} $ имеют длину 5. Например, $ \vec{u} = (4, 3) $. Найдем вектор $ \vec{v} $, также длины 5, например $ \vec{v}=(-4, 3) $. Скалярное произведение этих векторов: $ \vec{u} \cdot \vec{v} = (4)(-4) + (3)(3) = -16+9 = -7 $.

Косинус угла между ними: $ \cos(\delta) = \frac{-7}{\sqrt{4^2+3^2}\sqrt{(-4)^2+3^2}} = \frac{-7}{\sqrt{25}\sqrt{25}} = -\frac{7}{25} $.

Таким образом, искомый угол можно построить, отложив от одной вершины O' векторы $ (4, 3) $ и $ (-4, 3) $.

Ответ:

Изображение искомого угла (назовем его $ \angle M O' N $):

б) Рассмотрим второй случай, изображенный на рисунке 5.18 б).

1. Определим углы.

Угол $ \angle AOB $ такой же, как и в случае а). Векторы $ \vec{OA} = (2, -1) $ и $ \vec{OB} = (-1, 2) $.

Для угла $ \angle PQR $, поместим вершину Q в начало координат (0,0). Луч QP проходит через точку (2, 1), значит вектор $ \vec{QP} = (2, 1) $. Луч QR является вертикальным и направлен вверх, его можно представить вектором $ \vec{QR} = (0, 1) $.

2. Выразим углы через арктангенсы.

Для удобства введем базовые углы: $ \alpha = \arctan(1/2) $ и $ \beta = \arctan(2) $. Заметим, что $ \alpha + \beta = 90^\circ $.

Угол $ \angle PQR $ образован лучом с наклоном $ 1/2 $ (угол с горизонталью $ \alpha $) и вертикальным лучом (угол с горизонталью $ 90^\circ $). Следовательно, $ \angle PQR = 90^\circ - \alpha = \beta = \arctan(2) $.

Угол $ \angle AOB $ образован лучами с тангенсами углов к горизонтали $ -1/2 $ и $ -2 $. Как было показано в пункте а), угол между ними можно выразить через $ \alpha $ и $ \beta $: $ \angle AOB = 180^\circ - (\beta - \alpha) $.

3. Найдем разность углов.

$ D = \angle AOB - \angle PQR = (180^\circ - (\beta - \alpha)) - \beta = 180^\circ - 2\beta + \alpha $.

Так как $ \beta = 90^\circ - \alpha $, подставим это в выражение:

$ D = 180^\circ - 2(90^\circ - \alpha) + \alpha = 180^\circ - 180^\circ + 2\alpha + \alpha = 3\alpha $.

Итак, искомый угол равен $ 3\arctan(1/2) $.

4. Найдем тангенс искомого угла.

Найдем тангенс угла $ D = 3\alpha $, зная, что $ \tan(\alpha) = 1/2 $.

$ \tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} = \frac{2 \cdot (1/2)}{1 - (1/2)^2} = \frac{1}{1-1/4} = \frac{1}{3/4} = 4/3 $.

$ \tan(3\alpha) = \tan(2\alpha + \alpha) = \frac{\tan(2\alpha) + \tan\alpha}{1 - \tan(2\alpha)\tan\alpha} = \frac{4/3 + 1/2}{1 - (4/3)(1/2)} = \frac{11/6}{1 - 2/3} = \frac{11/6}{1/3} = \frac{11}{2} $.

5. Построим искомый угол.

Нам нужно построить угол, тангенс которого равен $ 11/2 $. Для этого на клетчатой бумаге из вершины O' отложим горизонтальный отрезок длиной 2 клетки (до точки M), а затем из точки M отложим вертикальный отрезок длиной 11 клеток (до точки N). Искомым будет угол $ \angle NO'M $.

Ответ:

Изображение искомого угла (назовем его $ \angle NO'M $):

5.14. На рисунке 5.19 угол $AOB$ равен $50^\circ$, угол $COD$ равен $60^\circ$.

Найдите угол $EOF$.

Рис. 5.19

На рисунке точки A, O, D лежат на одной прямой, поэтому угол $∠AOD$ является развернутым, и его градусная мера равна 180°.

Развернутый угол $∠AOD$ состоит из трех углов: $∠AOB$, $∠BOC$ и $∠COD$. Следовательно, их сумма равна 180°:
$∠AOD = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD$

Согласно условию задачи, $∠AOB = 50°$ и $∠COD = 60°$. Подставим эти значения в формулу и найдем величину угла $∠BOC$:
$180° = 50° + ∠BOC + 60°$
$180° = 110° + ∠BOC$
$∠BOC = 180° - 110°$
$∠BOC = 70°$

Углы $∠EOF$ и $∠BOC$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых BE и CF. По свойству вертикальных углов, они равны друг другу.
$∠EOF = ∠BOC$
Таким образом, $∠EOF = 70°$.

Ответ: 70°.