Страница 26 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какие углы называются равными?

2. Как обозначается равенство углов?

3. Что означает, что один угол меньше другого?

4. Какой угол называется:

а) острым;

б) прямым;

в) тупым?

5. Что называется биссектрисой угла?

6. Как определяется:

а) сумма двух углов;

б) разность двух углов?

7. Сформулируйте теорему о вертикальных углах.

8. Что называется углом между пересекающимися прямыми?

9. Какие прямые называются перпендикулярными?

1. Два угла называются равными, если их можно совместить друг с другом путем наложения так, чтобы они полностью совпали. Это означает, что их вершины и соответствующие лучи (стороны) совпадают. Также равными называют углы, имеющие одинаковую градусную или радианную меру. Например, если градусная мера угла $\alpha$ равна $30^\circ$ и градусная мера угла $\beta$ также равна $30^\circ$, то эти углы равны.
Ответ: Углы, которые можно совместить наложением или которые имеют одинаковую градусную меру.

2. Равенство углов обозначается с помощью математического знака равенства «=». Если угол с вершиной в точке B и сторонами BA и BC равен углу с вершиной в точке E и сторонами ED и EF, то это записывается как $\angle ABC = \angle DEF$. Если углы обозначаются греческими буквами, например $\alpha$ и $\gamma$, их равенство записывается как $\alpha = \gamma$.
Ответ: Равенство углов обозначается знаком «=», например, $\angle A = \angle B$.

3. Утверждение, что один угол меньше другого, означает, что его градусная мера меньше. Например, $\angle A < \angle B$, если градусная мера $\angle A$ меньше градусной меры $\angle B$. Геометрически это означает, что меньший угол можно расположить внутри большего так, чтобы их вершины и одна из сторон совпали, а вторая сторона меньшего угла оказалась между сторонами большего.
Ответ: Это означает, что градусная мера первого угла меньше градусной меры второго.

4. а) Острым углом называется угол, градусная мера которого строго меньше $90^\circ$. Например, углы в $30^\circ$, $45^\circ$, $89^\circ$ являются острыми.
Ответ: Острым называется угол, который меньше $90^\circ$.

4. б) Прямым углом называется угол, градусная мера которого в точности равна $90^\circ$. Такой угол составляет четверть полного оборота. Стороны прямого угла перпендикулярны друг другу.
Ответ: Прямым называется угол, который равен $90^\circ$.

4. в) Тупым углом называется угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Например, углы в $100^\circ$, $135^\circ$, $175^\circ$ являются тупыми.
Ответ: Тупым называется угол, который больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.

5. Биссектрисой угла называется луч, который выходит из вершины этого угла, проходит между его сторонами и делит данный угол на два равных по величине угла. Если луч $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, то $\angle ABD = \angle DBC$.
Ответ: Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его пополам.

6. а) Суммой двух углов, например $\angle 1$ и $\angle 2$, называется угол, градусная мера которого равна сумме градусных мер этих углов. Геометрически сумму можно получить, приложив один угол к другому так, чтобы их вершины совпали, а одна сторона стала общей, при этом углы не перекрывались. Новый угол, образованный двумя несовпадающими сторонами, и будет их суммой.
Ответ: Сумма двух углов — это угол, градусная мера которого равна сумме их градусных мер.

6. б) Разностью двух углов $(\angle 1 > \angle 2)$ называется такой угол $\angle 3$, который в сумме с углом $\angle 2$ дает угол $\angle 1$. То есть, $\angle 3 + \angle 2 = \angle 1$. Градусная мера разности равна разности их градусных мер.
Ответ: Разность двух углов — это угол, градусная мера которого равна разности их градусных мер.

7. Теорема о вертикальных углах гласит: вертикальные углы равны. Вертикальными называются пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых, и стороны одного угла являются продолжением сторон другого. При пересечении двух прямых образуются две пары равных между собой вертикальных углов.
Ответ: Вертикальные углы равны.

8. Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из четырех углов, образованных при их пересечении. Величина этого угла не превышает $90^\circ$. Если все четыре угла равны, то они прямые, и угол между прямыми равен $90^\circ$.
Ответ: Угол между пересекающимися прямыми — это наименьший из углов, которые они образуют. Его величина находится в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$.

9. Перпендикулярными называются две прямые, которые пересекаются под прямым углом, то есть под углом в $90^\circ$. Если прямая $a$ перпендикулярна прямой $b$, это обозначается как $a \perp b$.
Ответ: Перпендикулярные прямые — это прямые, пересекающиеся под углом $90^\circ$.

5.1. Среди углов, изображенных на рисунке 5.10, укажите равные углы.

Для решения этой задачи необходимо проанализировать рисунок 5.10, который не был предоставлен. В условии требуется указать равные углы, изображенные на этом рисунке. Без самого изображения дать точный ответ невозможно.

Тем не менее, можно описать общие принципы, по которым определяют равенство углов в геометрии. Равенство углов обычно устанавливается на основе следующих свойств и теорем:

1. Вертикальные углы. Если две прямые пересекаются, они образуют четыре угла. Углы, расположенные друг напротив друга (не имеющие общих сторон), называются вертикальными. Вертикальные углы всегда равны. Например, если прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, то углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ являются вертикальными, и, следовательно, $\angle AOB = \angle COD$.

2. Углы при пересечении параллельных прямых секущей. Если две параллельные прямые ($a \parallel b$) пересечены третьей прямой (секущей $c$), то образуются следующие пары равных углов:

• Накрест лежащие углы равны.
• Соответственные углы равны.

Например, если на рисунке 5.10 были бы изображены параллельные прямые и секущая, то можно было бы найти равные углы, определив их тип.

3. Углы в равнобедренном треугольнике. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если в треугольнике $ABC$ стороны $AB=BC$, то углы при основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

4. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Вписанные в окружность углы, которые опираются на одну и ту же дугу, равны между собой.

Для предоставления конкретного решения, пожалуйста, приложите рисунок 5.10.

Ответ: Невозможно дать ответ без рисунка 5.10.

5.2. Какой из углов, изображенных на рисунке 5.11, больше?

Для того чтобы определить, какой из углов, изображенных на рисунке 5.11, больше, необходимо проанализировать сам рисунок. К сожалению, изображение с рисунком 5.11 отсутствует в предоставленных материалах. Поэтому дать точный ответ на данный вопрос невозможно.

Однако мы можем рассмотреть общий принцип сравнения углов, так как подобные задачи часто направлены на выявление распространенного заблуждения.

Величина угла определяется исключительно степенью "раскрытия" или расхождения его сторон (лучей), исходящих из одной точки (вершины). Величина угла не зависит от длины нарисованных отрезков, которые изображают его стороны. Визуально угол с более длинными сторонами может казаться больше, но это является оптической иллюзией.

Рассмотрим следующий пример, где изображены два угла, которые на самом деле равны:

На этом рисунке Угол 2 может показаться больше Угла 1, так как его стороны длиннее. Однако градусная мера обоих углов одинакова. Чтобы убедиться в этом, можно использовать один из следующих методов:

Метод 1: Наложение. Мысленно или с помощью кальки наложите один угол на другой так, чтобы их вершины и одна из сторон совпали. Если вторые стороны также совпадут, углы равны. Если вторая сторона первого угла окажется внутри второго, то второй угол больше. Если снаружи — больше первый.

Метод 2: Измерение. С помощью транспортира измерьте градусную меру каждого угла. Угол, имеющий большее значение в градусах, является большим.

Применяя эти методы к задаче 5.11, следует внимательно посмотреть на углы на рисунке и сравнить их раскрытие, а не длину сторон.

Ответ: Для ответа на вопрос необходимо изображение рисунка 5.11. Без него невозможно определить, какой из углов больше.

5.3. Расположите углы, изображенные на рисунке 5.12, в порядке их возрастания.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

R

Q

P

C

B

A

1 2

3 4

5 6

Рис. 5.10

Рис. 5.11

Рис. 5.12

Для того чтобы расположить углы в порядке возрастания, мы определим величину каждого угла, используя сетку. Мы можем классифицировать углы как острые (меньше $90^\circ$), прямые ($90^\circ$) или тупые (больше $90^\circ$). Для острых углов мы можем найти их тангенс, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему в прямоугольном треугольнике, образованном лучами угла и линиями сетки. Чем больше тангенс острого угла, тем больше сам угол.

Проанализируем каждый угол:

Угол 1: Это прямой угол, так как его стороны лежат на перпендикулярных линиях сетки. Его величина составляет $90^\circ$.

Угол 2: Это тупой угол. Смежный с ним острый угол $\alpha_2$ образован лучами, которые проходят через узлы сетки так, что образуют прямоугольный треугольник с катетами, равными 1 и 1. Тангенс этого смежного угла $ \tan(\alpha_2) = 1/1 = 1 $, значит $\alpha_2 = 45^\circ$. Следовательно, угол 2 равен $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Угол 3: Это острый угол. Одна его сторона вертикальна. Вторая сторона образует с вертикалью угол, для которого можно построить прямоугольный треугольник с катетами 1 (горизонтальный, противолежащий) и 2 (вертикальный, прилежащий). Тангенс этого угла равен $ \tan(\angle 3) = 1/2 $.

Угол 4: Это тупой угол, равный углу 2. Его смежный острый угол $\alpha_4$ также образован лучами, формирующими прямоугольный треугольник с катетами 1 и 1. $ \tan(\alpha_4) = 1/1 = 1 $, значит $\alpha_4 = 45^\circ$. Следовательно, угол 4 равен $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Угол 5: Это острый угол. Его стороны образуют прямоугольный треугольник с катетами 1 и 1. Тангенс этого угла равен $ \tan(\angle 5) = 1/1 = 1 $. Следовательно, угол 5 равен $45^\circ$.

Угол 6: Это острый угол. Его стороны образуют прямоугольный треугольник с противолежащим катетом 1 и прилежащим катетом 2. Тангенс этого угла равен $ \tan(\angle 6) = 1/2 $.

Теперь сравним величины всех углов.
У нас есть следующие значения (или их тангенсы для острых углов):
$ \angle 3 = \angle 6 = \arctan(1/2) $
$ \angle 5 = 45^\circ $
$ \angle 1 = 90^\circ $
$ \angle 2 = \angle 4 = 135^\circ $

Сравниваем тангенсы острых углов: $ \tan(\angle 3) = \tan(\angle 6) = 1/2 = 0.5 $, а $ \tan(\angle 5) = 1 $.Поскольку $ 0.5 < 1 $, то $ \angle 3 = \angle 6 < \angle 5 $.Все острые углы меньше $90^\circ$, а все тупые углы больше $90^\circ$.Таким образом, расположив углы в порядке возрастания, получаем следующую последовательность:
$ \arctan(1/2) < 45^\circ < 90^\circ < 135^\circ $
$ (\angle 3 = \angle 6) < \angle 5 < \angle 1 < (\angle 2 = \angle 4) $

Ответ: Углы в порядке их возрастания: 3 и 6 (они равны), 5, 1, 2 и 4 (они равны). В виде неравенства: $ \angle 3 = \angle 6 < \angle 5 < \angle 1 < \angle 2 = \angle 4 $.