Страница 32 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Самостоятельно сформулируйте, чему равна градусная величина разности углов.

Градусная величина разности двух углов — это результат вычитания градусной меры меньшего угла из градусной меры большего угла. Эта величина показывает, на сколько градусов один угол отличается от другого, и всегда является неотрицательным числом.

Пусть даны два угла с градусными мерами $A$ и $B$.
Если $ A \ge B $, то разность равна $ A - B $.
Если $ B > A $, то разность равна $ B - A $.
Обобщенно, это правило можно записать с помощью знака модуля (абсолютной величины). Градусная величина разности углов с мерами $A$ и $B$ равна $|A - B|$.

Например, если даны углы в $120^\circ$ и $45^\circ$, то их разность равна $120^\circ - 45^\circ = 75^\circ$.
Если даны углы в $30^\circ$ и $100^\circ$, то их разность равна $100^\circ - 30^\circ = 70^\circ$. Используя формулу с модулем, мы получим тот же результат: $|30^\circ - 100^\circ| = |-70^\circ| = 70^\circ$.

Ответ: Градусная величина разности двух углов равна модулю разности их градусных мер. Если градусные меры углов равны $A$ и $B$, то градусная величина их разности вычисляется по формуле $|A - B|$.

1. Что принимается за единицу измерения углов?

2. Что такое градус?

3. Что такое минута?

4. Что такое секунда?

5. Как измеряется градусная величина угла?

6. Какие свойства выполняются для градусных величин углов?

1. Что принимается за единицу измерения углов?
Основной единицей измерения углов в геометрии и большинстве практических приложений является градус. Эта система измерения, основанная на делении окружности на 360 частей, пришла из Древнего Вавилона.
Ответ: За единицу измерения углов принимается градус.

2. Что такое градус?
Градус (от лат. gradus — «шаг», «ступень», обозначается символом °) — это единица измерения плоских углов, равная $1/360$ части полной окружности. Также градус можно определить как угол, равный $1/180$ доле развернутого угла. Развернутый угол — это угол, стороны которого лежат на одной прямой по разные стороны от вершины; его величина составляет $180°$. Прямой угол, соответственно, равен $90°$.
Ответ: Градус — это угол, равный $1/180$ доле развернутого угла.

3. Что такое минута?
Для более точных измерений используются дольные единицы градуса. Одной из них является угловая минута (или просто минута, обозначается символом ′). Она равна одной шестидесятой ($1/60$) части градуса. Таким образом, в одном градусе содержится 60 минут.
$1° = 60′$
Ответ: Минута — это $1/60$ часть градуса.

4. Что такое секунда?
Для еще более высокой точности измерений угловая минута делится на угловые секунды (или просто секунды, обозначаются символом ″). Угловая секунда равна одной шестидесятой ($1/60$) части угловой минуты.
$1′ = 60″$
Следовательно, в одном градусе содержится $60 \times 60 = 3600$ секунд ($1° = 3600″$).
Ответ: Секунда — это $1/60$ часть минуты.

5. Как измеряется градусная величина угла?
Градусная величина угла измеряется путем его сравнения с эталонным углом в один градус. На практике для этого используется инструмент, который называется транспортир. Транспортир — это, как правило, полукруглая линейка, на которую нанесена шкала в градусах от $0°$ до $180°$.
Для измерения угла необходимо:
1. Совместить вершину угла с центром транспортира.
2. Совместить одну из сторон угла с нулевой отметкой шкалы транспортира.
3. Число на шкале, через которое проходит вторая сторона угла, и будет его градусной мерой.
Каждому углу, который не является нулевым, сопоставляется положительное число — его градусная мера.
Ответ: Градусная величина угла измеряется с помощью транспортира путем сопоставления угла с эталонными делениями на его шкале.

6. Какие свойства выполняются для градусных величин углов?
Градусные величины углов подчиняются ряду фундаментальных свойств (аксиом), которые лежат в основе их измерения:
1. Свойство существования и единственности. Каждый угол имеет определенную градусную меру, которая является положительным числом.
2. Свойство соответствия. Равные углы имеют равные градусные меры, и наоборот, углы с равными градусными мерами равны между собой.
3. Свойство аддитивности (сложения). Если угол разделен лучом, выходящим из его вершины, на два меньших угла, то градусная мера исходного (большего) угла равна сумме градусных мер двух меньших углов, на которые он разделен. Например, если луч $OC$ проходит между сторонами угла $\angle AOB$, то $\angle AOB = \angle AOC + \angle COB$.
4. Свойство откладывания угла. От любого заданного луча в определенную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой (меньше $180°$), и такой угол будет единственным.
Ответ: Основные свойства: равные углы имеют равные градусные величины; градусная мера угла, составленного из нескольких углов, равна сумме их градусных величин.

6.1. Найдите градусную величину угла (рис. 6.2):

a) $\angle AOC$;

б) $\angle AOB$;

в) $\angle AOD$;

г) $\angle AOE$;

д) $\angle BOD$;

е) $\angle BOC$;

ж) $\angle BOE$.

Рис. 6.2

Для решения задачи будем считать, что точка O — начало координат, линия AE — вертикальная ось, а сетка задает горизонтальную ось. Луч OC, необходимый для нахождения некоторых углов, направим вдоль положительного направления горизонтальной оси. Линии, проходящие через точки B и D, являются диагоналями клеток сетки, а значит, образуют углы в $45°$ с осями.

а) AOC

Угол AOC образован лучами OA и OC. Луч OA лежит на вертикальной оси, а луч OC — на горизонтальной. Так как оси координат перпендикулярны, угол между ними равен $90°$.
Ответ: $90°$.

б) AOB

Угол AOB образован лучами OA и OB. Луч OA является вертикальным. Луч OB проходит по диагонали клеток сетки, поэтому он является биссектрисой угла между положительными направлениями вертикальной и горизонтальной осей. Угол между лучом OB и горизонтальным лучом OC равен $45°$ ($\angle BOC = 45°$). Тогда угол AOB можно найти как разность: $\angle AOB = \angle AOC - \angle BOC = 90° - 45° = 45°$.
Ответ: $45°$.

в) AOD

Угол AOD образован лучами OA и OD. Он состоит из двух углов: $\angle AOC$ и $\angle COD$. Мы знаем, что $\angle AOC = 90°$. Луч OD проходит по диагонали клеток в четвертой координатной четверти, поэтому он образует угол $45°$ с горизонтальным лучом OC, то есть $\angle COD = 45°$. Таким образом, $\angle AOD = \angle AOC + \angle COD = 90° + 45° = 135°$.
Ответ: $135°$.

г) AOE

Угол AOE образован лучами OA и OE. Точки A, O и E лежат на одной прямой, причем O находится между A и E. Следовательно, угол AOE является развернутым.
Ответ: $180°$.

д) BOD

Угол BOD образован лучами OB и OD. Он состоит из суммы углов $\angle BOC$ и $\angle COD$. Как было определено ранее, $\angle BOC = 45°$ и $\angle COD = 45°$. Следовательно, $\angle BOD = \angle BOC + \angle COD = 45° + 45° = 90°$.
Ответ: $90°$.

е) BOC

Угол BOC образован лучами OB и OC. Так как луч OB проходит по диагонали клеток сетки, он является биссектрисой прямого угла, образованного лучами OC (горизонтальная ось) и OA (вертикальная ось). Следовательно, $\angle BOC = 45°$.
Ответ: $45°$.

ж) BOE

Угол BOE образован лучами OB и OE. Он является суммой углов $\angle BOC$ и $\angle COE$. Мы знаем, что $\angle BOC = 45°$. Угол COE — это угол между лучом OC (положительная горизонтальная ось) и лучом OE (отрицательная вертикальная ось), он равен $90°$. Таким образом, $\angle BOE = \angle BOC + \angle COE = 45° + 90° = 135°$.
Ответ: $135°$.